¿ Una generalización del “teorema” de Milnor para dígrafos de Cayley (2-3) generados ?

mayo 25, 2016

1.En una nota de una entrada anterior hemos profundizado sobre el “teorema” de Milnor, cuyo enunciado y alcance en un principio no comprendíamos muy bien (su resultado no se publicó, se cita en otras fuentes de manera muy incompleta como si su demostración fuese evidente; aunque todavía tengo alguna duda sobre la constante, una vez que se comprende la idea efectivamente no es complicado comprenderla).

Tras darle unas cuantas vueltas y aunque , ya tengo más o menos claro su contenido, idea de demostración que esbozamos a continuación.

En los casos (2-3) generados, cuando un path recorre el digrafo fuera del IAS de la identidad, lo recorre necesariamente con el patrón abb o ab^2. Obviamente en cualquier caso, este patrón sólo se puede repetir un cierto número de veces hasta obtener de nuevo la identidad, que variará según los generadores.

El teorema de Milnor afirma:

Proposition 2 (attributed to Milnor [2, p. 201]). Assume the finite group is generated by two elements a and b, such that a^2=b^3=1 (o la identidad). If |G|>9|ab^2|, then the Cayley digraph does not have a hamiltonian path.

Y lo que no me queda claro es de dónde sale este n=9, ya que entiendo que en general puede haber casos en los que (ab^2)^n=1 no quede acotada por esta constante. Por ello entiendo que el resultado de Milnor se refiere a un caso específico de dígrafos.

2. En cualquier caso, las tres variables clave para que funcione el teorema son:

el tamaño del IAS,

el tamaño del dígrafo y,

el n de la relación (ab^2)^n=1.

Si el tamaño del IAS es pequeño y el tamaño del n son pequeños en relación al tamaño del dígrafo completo entonces no podrá haber RHs, dado que gran parte del recorrido se haría fuera del IAS y el n aplicado a la relación repetitiva no llegaría a cubrir todo el dígrafo.

Es decir (una primera versión,  que variará cuando tenga todo más claro) si |G|-|IAS| > |ab^2|^n=1, entonces no puede haber RHs.

Por lo tanto en aquellos casos (2-3) generados en los que el IAS suponga una parte significativa del dígrafo (y existen) habrá más posibilidades de que existan RHs. Y en aquellos en los que el IAS sea pequeño en relación al dígrafo, habrá menos posibilidades.

Más que una generalización se trataría de un test que permitiría identificar los casos (2-3) generados que no tengan RHS en ninguno de los VFs posibles. Realmente una vez se comprende el sentido del teorema de Milnor y nuestros resultados con unas minimas comprobaciones se puede llegar a la generalización.

¿ No supondrían estos últimos casos, si existiesen (todo esto que estamos contando es abstracto, al margen de momento de casos reales), una excepción a nuestro test de smoothness / twistedness?. No, dado que en general son igualmente twisted, pero si son casos que permiten una expresión más concreta, de tipo aritmético, de un obstáculo a la hamiltonicidad (similar al expresado por el teorema de Rankin y que por cierto, hemos generalizado también, apareciendo esta generalización como contenido de dos de las reclamaciones), obstáculo que se podría expresar de manera más farragosa con el test indicado.

Estudiaremos todos esto con más detalle en próximas actualizaciones a esta entrada o en entradas posteriores. Concretamente quiero ver la forma general de los generadores (2-3) de An y Sn.

Actualización 26 mayo 2016.

Con lo que estamos comentado,  en abstracto, y a la espera de posteriores comprobaciones, más concretas, me queda claro que es muy posible que haya infinitos casos / familias infinitas de tipo (2-3) con RHs en alguno de los VFs posibles. Esto me aclara una duda que tenñia. Al igual que también los hay (y posiblemente más frecuentes sin RHs en ningún VF posible; en algunos artículos algunos). Incluso no veo imposible poder determinar de antemano, sin necesidad de aplicar el algoritmo cuales de los VFs finales posibles tendrán RH. Posiblemente sólo uno en cada VF.

Por otra parte comentar que pienso entiendo que esta generalización posiblemente ya debía de estar en la mente o comentario de Milnor o de cualquier otro que se haya interesado por su resultado, a poco  que hayan intentado profundizar. Para mi, con la información de que disponía el fogonazo fue casi inmediato una vez que comprendí el resultado de Milnor he hice unas cuantas comprobaciones. Antes de las comprobaciones me rondaba en la cabeza la generalización peor no la tenía para nada aterrizada. También es posible que este y otros investigadores o no profundizasen o no dispusiesen de la misma información que yo, o que considerasen que no era necesario hacer la idea mucho más explícita…

Fin de actualización. 

3. ¿ No podría generalizarse esta técnica a otros casos (2-n) generalizados ?. Entiendo que como mucho a los (2-4) generados.  A partir de aquí, el tema está tan abierto que determinar los paths posibles cuando se recorres la zona en la que no se encuentra el IAS identidad, puede empezar a ser complejo. Estudiaremos los casos (2-4) generados.

4. Otros resultados similares. Es posible que este resultado, sobre el que ya hemos hablado en otras ocasiones, de alguna manera utilice esta misma idea. Lo tengo que comprobar.

Entrelazamiento y orden de circunferencia, ¿ dos propiedades / parámetros no independientes ?

mayo 24, 2016

Estudiando los casos de la entrada anterior, he detectado un tema que no  había visto antes.

Cuando calculamos el orden de la circunferencia en un caso de IAS par, y obtenemos que esta es de orden 2, pueden darse tres casos:

–cuando la circunferencia es de orden 2 y el caso es 1/2 entangled, y entonces la circunferencia contiene dos IASes, el IAS y el DAS de la identidad, y entonces al parecer la permutación (con la que se calcula el orden de la circunferencia comparandola con la identidad) es del tipo 123…(n)(n-1) o 21….(n-1)n, es decir con todos lospuntos fijos menos 2, es decir  una transposición. Recordemos que estos casos incluyen a los cycle-entangled.

–Cuando la circunferencia es de orden 2 y el caso es n-entangled (y por lo tanto ni 1/2 entangled ni 2-entangled), entonces esta contiene 3 IASes y la permutación es del tipo 123456->456123. Es decir sin puntos fijos. Esta es la primera anotación sobre este asunto.

–cuando la circunferencia es de orden 2 y el caso es 2-entangled, en cuyo caso la circunferencia contendrá 4 IASes y la permutación es del tipo 123456->132465, es decir con 2 o más puntos fijos.

Y seguramente este mismo fenómeno (adaptado a las nuevas condiciones; por ejemplo aquí no tendrá sentido hablar de casos 2-entangled), se dará en circunferencias de otros órdenes.

Tema a investigar con más casuística.

Dígrafos de Cayley (2,3)-generados (y otros similares): sus propiedades de hamiltonicidad.

mayo 18, 2016

Entrada en construcción. Estará terminada cuando desaparezca este mensaje.

http://www.famnit.upr.si/files/zakljucna_dela_repo/48

https://books.google.es/books?id=d5PLBQAAQBAJ&pg=PA224&lpg=PA224&dq=solvable+groups+permutation+generators&source=bl&ots=CGTnfchuwD&sig=i16JVQOO-SlCyuJMv0HgTVqVFpY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiP07-asfHMAhWJ2RoKHRUvAUM4FBDoAQgzMAM#v=onepage&q=solvable%20groups%20permutation%20generators&f=false

 

En base a las entradas anteriores en esta entrada quiero analizar las propiedades de hamiltonicidad de todos los casos de que dispongo (2-3) generados.

También analizaremos otros casos (2-n) generados de S5 cuyas propiedades estructurales no analicé en detalle en su momento. El factor común de todos ellos es,

–primero, que uno de los generadores es una involución y por ello en la base de datos que elaboré aparecían como entrelazados o entangled. Pero algunos de ellos o incluso que no haya recorridos en ninguno es posible

–segundo que el tamaño del IAS es “grande” en relación con el número de vértices o bien el orden del generador que no es de orden 2 es grande también.

–tercero, son casos problemáticos, en el sentido de que tienen algunos vértices finales posibles sin recorridos hamiltonianos, o incluso ninguno de ellos los tiene.

La motivación de esta entrada es la siguiente:

quiero averiguar si, como pienso, las propiedades estructurales que hemos reflejado en la patente (2º solicitud de patente) explican todos los casos complicados. Si no he analizado mal el caso de la entrada anterior (el PSL(2,7), que tengo pendiente de reanalizar) podría ser smooth y no tener recorridos hamiltonianos en ninguno de los vértices finales posibles. Realmente no hace falta analizarlo con mayor profundidad: es twisted, como todos aquellos cuya circunferencia es de orden 2 (4 IASES) si el IAS es par o de orden 4 (4 IASES) si el IAS es impar.

No obstante sí me interesa analizar varios otros de estos casos y similares, dado que es posible que tengan propiedades estructurales que nos permitan predecir mejor sus propiedades de hamiltonicidad.

Nota. El lector que haya seguido estas entradas a lo mejor se habrá realizado algunas preguntas sobre la propiedad smooth/twisted. Por ejemplo:

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IP. Enfish LLC Vs. Microsoft.

mayo 16, 2016

Nuevo caso relevante relacionado con Alice Corp (Step A).

Relacionado. El software no es el único objetivo de las hordas anti-patentes. Quizás algunos quieran hacer el experimento también en este campo y ver que si con patentes los medicamentos pueden ser caros, sin patentes ni siquiera habría (algunos, muchos) medicamentos, tal y como argumentan correctamente en el artículo enlazado.

Grupos bigenerados por una involución y un elemento de orden primo; (2,3) grupos.

mayo 9, 2016

Realizando búsquedas vinculadas con la anterior entrada he encontrado este muy reciente artículo (15 de marzo de 2016, publicado en Arxiv).

Título.  Generation of finite simple groups by an involution and an element of prime order

Carlisle S. H. King

Abstract.

We prove that every non-abelian finite simple group is generated by an involution and an element of prime order. 

En particular nos comentan:

As two involutions generate a dihedral group, the smallest pair of interest is (2, 3). The question of which finite simple groups are 2-3-generated has been studied extensively. All alternating groups are 2-3-generated except in a small number of cases by [26]. All but finitely many simple classical groups not equal to P Sp4p2 a q, P Sp4p3 a q are (2, 3)-generated by [22]. All simple exceptional groups except for 2B2p2 2m`1 q are (2, 3)-generated by [23]. And all but four of the sporadic simple groups are (2, 3)-generated by [36]. Nevertheless, the problem of determining exactly which finite simple groups are (2, 3)-generated, or more generally (2, p)-generated for some prime p, remains open.

In this paper, we prove:

Theorem 1. Every non-abelian finite simple group G is generated by an involution and an element of prime order.

Lo publico para acordarme.

Actualización un par de días después.

En un artículo citado en la entrada anterior nos comentan:

Finite quotients of the modular group are very abundant and almost all finite simple groups are (2,3)-groups. For the most recent results on this question see Liebeck and Shalev [IO]. It is known that any noncyclic finite simple group can be generated by an element of order 2 and one other element. In particular, the fact that all the alternating groups A,, with n 33, n # 6,7,8 are (2,3)-groups is a theorem going back to G. A. Miller [14]. The fact that all the projective special linear groups PSL(2,q) with q # 9 are (2,3)-groups is a theorem of Macbeath [12].

Fin actualización.

Actualización 13 de mayo de 2016.

a) Como hemos visto en la entrada anterior, los grupos (2,3) generados pueden ser interesantes desde el punto de vista de sus propiedades de hamiltonicidad.

Hemos visto casos (al menos uno) que sí tiene recorridos hamiltonianos y otros (varios casos) en los que no tienen en ninguno de los vértices finales posibles. Concretamente me interesan más aquellos tales que el IAS sea de orden impar,  en cuyo caso no tendrían ciclos hamiltonianos (Rankin) pero si podrían tener recorridos (salvo en los vértices finales posibles indicados por la generalización de Rankin).

En lo que sigue voy a compilar algunos artículos relevantes sobre grupos (2,3) generados. Aunque en general no se refieren al problema de recorridos  hamiltonianos, me interesa conocer en concreto que grupos son (2,3) generables. Por ejemplo, ¿ lo es para todo n, Sn ?. Ya hemos visto que si lo es An con algunas excepciones. Y me interesaría encontrar generadores en forma de permutaciones de estos grupos.

b) El artículo más citado al respecto, de 1996, es el siguiente:

Classical groups, probabilistic methods, and the (2,3)-generation problem

Sólo el abstract. No he encontrado ninguno descargable.

El principal resultado de este artículo (bastante potente y por ello es tan citado) es el siguiente:

The final result is [59, 1.4]:

Theorem 7. For G an alternating group, or a finite simple classical group not isomorphic to P Sp4(q), we have P2,3(G) → 1 as |G| → ∞.

For G = P Sp4(2a ) or P Sp4(3a ) we have P2,3(G) = 0 ; while for G = P Sp4(p a ) with p > 3 prime, we have P2,3(G) → 1 2 as p a → ∞.

As a consequence, all but finitely many classical groups (6= P Sp4(2a ), P Sp4(3a )) are (2, 3)-generated

El extracto es de este artículo de uno de los dos autores del teorema.

Y uno bastante reciente (2015) que nos aclara el estado actual de la situación:

THE (2, 3)-GENERATION OF THE SPECIAL UNITARY GROUPS OF DIMENSION 6 M.A. PELLEGRINI, M. PRANDELLI, AND M.C. TAMBURINI BELLANI

Classical groups, probabilistic methods, and the (2,3)-generation problem

–G.A. Miller, On the groups generated by two operators, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1901), 424– 426.

–M.C. Tamburini, J.S. Wilson and N. Gavioli, On the (2, 3)-generation of some classical groups I, J. Algebra 168 (1994), 353–370.

c) En relación al problema de hamiltonicidad en este tipo de casos, tenemos:

–el resultado de Milnor citado en la entrada anterior (no publicado) y aunque he visto la proposición, desconozco su alcance de momento.

–el artículo citado en la entrada anterior.

On the structure of Hamiltonian cycles in Cayley graphs of finite quotients of the modular group .

En este artículo aparecen generadores para algunos casos:

The group S4 with generators s=(14) and t=(123)

The group of order 42 with generators s = (24)(35)(67) and t = (123)(467)

The group of order 54 with generators s = (18)(27)(36)(45) and t = (126)(345)(789)

The group AS of order 60 with generators s = (12)(34) and t = (135)

The group C3 x S4 of order 72 with generators s = (12)(34)(56) and t = (125)(347)

The solvable group of order 96 with generators s = (34)(57)(68)(9 lo), t = (123)(456)(789)(10 11 12)

The group C2 x AS of order 120 with generators s = (12)(35)(46)(79)(810) and t = (234)(678)

The group C2 x AS of order 120 with generators s = (12)(35)(46)(79)(810) and t = (234)(678)

PSL(2,7) also has a permutation representation with generators s = (12)(34) and t = (135)(267). ¿ Es esto lo que estábamos buscando ?

The solvable group G of order 324 with generators s = (15)(38) and t = (123)(456)(789)

The group PSL(2,8) has order 504 an: has a permutation representation with generators s = (24)(35)(68)(79) and t = (123)(467)(589).

También da algunos generadores para grupos del tipo (2,4). A continuación los que me interesan.

XVIII. The group of order 48 with generators s = (35)(46) and x = (1243)(5687)

XIX. The group of order 64 with generators s = (23)(67) and x = (12)(3465)(78) .

XX. The group of order 72 with generators s = (23) and x = (12)(3465)

PSL(2,7).

mayo 8, 2016

psl(2,7) (2)

El digrafo de Cayley que aparece en la imagen anterior, de PSL(2,7) isomorfo a GL (3,2) es muy interesante para  mi. En la  imagen aparece con generadores de orden 2 y 3.

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IP. La demonización y rechazo de las patentes.

mayo 8, 2016

1.Demonización.

Llevo un cierto tiempo preguntándome cuando empezó el movimiento mediático demonizador de las patentes en EEUU, país dónde antes se glorificaba este mismo derecho de propiedad.

El siguiente gráfico no es la  respuesta completa a esta pregunta pero sí es informativo.

bb-3

Fuente.

Como se ve el uso de la denigrante palabra (patent troll) aplicada a una actividad perfectamente legal y legítima comienza en 2005.

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Trade Lane Megacities. La articulación viaria de norteamérica (EEUU y Mexico) en la Edad Moderna.

marzo 27, 2016

Disclaimer. Tenemos pendiente una entrada en profundidad sobre México desde hace tiempo. En esta recopilamos alguna información sobre este país que nos servirá cuando la redactemos.

No tenemos demasiado tiempo para publicar en el blog ahora. Pero he encontrado una serie de imágenes muy interesantes que resumen muy bien lo que expresa el título. Las publicamos sin mayores explicaciones de momento.

Primero unas imágenes que nos ayudarán a poner en contexto las rutas sobre las que comentamos más adelante.

Realmente el descubrimiento de América fue más bien el descubrimiento sobre como utilizar el fenómeno natural de circulación de determinados vientos oceánicos para atravesar el Atlántico y regresar. Como es bien conocido ya se utilizaban previamente los monzones en el Índico desde bastante antes, y por lo tanto el concepto, la idea abstracta no era nueva. Lo que fue nuevo fue su aplicación al caso Atlántico. Y como vemos en el mapa casi inmediatamente se aplicó el  mismo concepto al Pacífico. No por ello Colón o Saavedra-Villalobos-Urdaneta tienen menos mérito.

Nota.

De alguna manera estos descubridores, al menos algunos como los Colón o Cortés, recibieron monopolios temporales por sus descubrimientos, es decir patentes aunque no se les llamase así. Esperemos que cambie rápidamente el viento cierzo que sopla actualmente en contra de las patentes, de la innovación, en EEUU.

Algunos comentarios sobre estas exploraciones: si Nuñez de Balboa es el “descubridor”, a ojos europeos, del Pacífico, su exploración (el enlace contiene un cuadro muy interesante) la inician Magallanes-Elcano y la continuan muchos otros, entre ellos Loaysa, pero si no me equivoco, realmente los descubridores de la ruta del Galeón de Manila  fueron Saavedra y López de Villalobos (respectivamente 1527 y 1541 ambas respectivamente México–>Molucas / Filipinas y ambas a la búsqueda, conscientemente del tornaviaje; Saavedra encontró su bucle en las Molucas) y Arellano / Urdaneta (descubridores del tan buscado tornaviaje, Filipinas–>México)

El intento, conseguido, de Magallanes-Elcano buscaba una ruta plenamente marítima (Atlántico-Pacífico) que luego resultó ser inviable desde el punto de vista económico. Era más rentable atravesar México, según las rutas que veremos en esta entrada) o Panamá que rodear por el Cabo de Hornos. La expedición de Loaysa, finalmente sin resultados, ya era plenamente de conquista y siguió la misma ruta que la anterior. El resto de expediciones “pacíficas” (Saavedra, Hurtado de Mendoza, Becerra-Grijalva, ¿ Berlanga ?, etc…) se hicieron bajo el impulso de Cortés, desde México, con el visto bueno de la corona o más tarde bajo el impulso de los Virreyes de Nueva España (Villalobos, Legazpi, Urdaneta…). Recordamos que todavía en 1527 sudamérica era prácticamente tierra por explorar y el centro américano del imperio era México. Más adelante el Virreynato del Perú impulsó otras exploraciones (Mendaña, Fernandez de Quirós y otras). Sorprendentemente el  hueso más duro de roer fue la costa pacífica del norte de américa. Por ejemplo, la Bahía de San Francisco no se “descubrió” hasta 1769, cuando casi desde un siglo antes ya se conocía hasta el Estrecho de Bering o unas décadas antes la Isla de Pascua.

Es curioso que todo esto se hizo con pleno respeto de los acuerdos (Tordesillas y Zaragoza).

. Fin de nota.

Por otra parte ya hemos explicado en otra entrada previa que este descubrimiento sólo se podía haber realizado, en Europa, geográficamente, desde la península Ibérica. Desde otros puntos geográficos se hubiese ido, pero no regresado al mismo punto.

rutapacifico

Como resultado en pocas décadas se utilizaban con regularidad las rutas oceánicas que podemos llamar la Ruta de la Flota de Indias (Atlántico, desde Sevilla a Veracruz, ida y vuelta, pasando por Canarias, Caracas, Cartagena de Indias, y al regreso por La Habana) y la Ruta del Galeón de Manila (Pacífico, desde Acapulco a Manila ida y vuelta).  Y este sistema de rutas oceánicas persistió durante varios siglos, hasta el XIX cuando empiezan la emergencia de América, con las Independencias en Latam y la expansión de EEUU.

Como complemento de las rutas marítimas había rutas terrestres que completaban la red. Atlántico y Pacífico quedaban unidos a través de México, Panamá (que hoy se transita de modo marítmo), y más tarde a través de una larga Ruta que unía Lima con Buenos Aires. Como es bien conocido, la red era metalocéntrica.

11. EL IMPERIO ESPAÑOL EN EL SIGLO XVIII

Galeón de Manila

Luego todo se hizo más complejo.

Rutas del Atlántico

Las rutas sobre las que vamos a hablar no son oceánicas. Tampoco transitan todas en dirección este-oeste. Ni cubren todo el territorio del Imperio Español. Nos vamos a centrar en las rutas norteaméricanas. En el siguiente breve resumen, que extraemos de otra página, nos hablan de ellas:

A fines del s XVIII de la Cd de México partían cuatro importantes vías de comunicación:

  1. El Camino de México Veracruz Puebla y Jalapa
  2. El Camino de México a Acapulco pasando por Chilpancingo
  3. El Camino de México a Guatemala cruzando por Oaxaca
  4. El Camino Real de Tierra Adentro que partía de México a Durango y de ahí a Santa Fe Nuevo México cuyo primer enclave importante era el de Querétaro situado a 309 Km al noroeste de la capital.

Principales caminos de la Nueva España.

 

a) El Camino Real de Mexico – Veracruz.

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Factorial, exponencial, subexponencial.

marzo 16, 2016

Haciendo algunos cálculos en el marco de la patente he visto que crecimientos que, desde el punto de vista de la complejidad computacional se meten casi en el mismo saco son, a efectos prácticos, muy muy diferentes (obviamente hasta cierto punto o n, a partir del  cual te dará igual uno que otro pues el computador te revienta por igual). Veamos por ejemplo el factorial, exponencial y (en sentido amplio) subexponencial,

Subexponencial: 2^Raiz cuadrada [n log n] para n=720. 5,2334*^10^20 = 100000000000000000000 * 5,2334.

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Exponencial: 2^n, para n=720.

5515652263101987298728728207430913795608113109085112352897269396216198887424215820128660001943808587833784893551335930816647064191168732319583111500951066614122648616177179922993422016587311577585463592732098692120576

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Factorial, para n=720.

260121894356579510020490322708104361119152187501694578572754183785083563115694738224067857795813045708261992057589224725953664156516205201587379198458774083
252910524469038881188412376434119195104550534665861624327194019711390984553672727853709934562985558671936977407000370043078375899742067678401696720784628062
922903210716166986726054898844551425719398549944893959449606404513236214026598619307324936977047760606768067017649166940303481996188145562519559256691883082
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Algoritmica y complejidad computacional. Resumen investigaciones recientes: los casos entangled 1/2.

marzo 16, 2016

Actualización 20 de marzo 2016. Ya tengo clara conceptualemente una definición de twisted y smooth en la  que para determinar si un caso es smooth o twisted se utiliza tanto el concepto de entorno inmediato de la  identidad (tal y como está definido en la patente) como el concepto de circunferencia. Tengo que hacer una serie de comprobaciones para determinar si esta definición es válida. Cuando realice estas comprobaciones, que llevarán su tiempo haré una entrada al respecto.

Es  más, cada vez tengo más claro que con un argumento numérico (que implica hacer varios cálculos con los 5 principales parámetros: nº de vértices, orden del IAS, orden de los dos generadores, orden de la circunferencia), debe de ser posible comprobar (más rápidamente que construyendo el entorno de la identidad) si un caso será smooth o no. Ahora mismo me interesa conocer que pasará asintoticamente con el caso típico, es decir aquel que saldrá en una elección aleatoria.

Para ello se debe de utilizar: 

–el método “numérico” que acabamos de comentar (que seguramente ya adelantamos en anteriores entradas de hace años, pero que ahora empiezo a tener totalmente claro) y que está en construcción. Un  ejemplo es el caso de S5, identidad 23456 y generadores 34526 y 23564. Tiene 120 vértices, 30 IASES, el entorno de la identidad tiene 12 IASES y la circunferencia 10. Si no hubiese repeticiones (si no fuese twisted) nos saldrían más de 120 permutaciones. En otros casos, el nº de IASES del entorno de la identidad y de la circunferencia será una fracción mínima del total de IASES y pasa lo contrario: si hubiese repeticiones, no llegaríamos al número deseado (de Sn o An). Así a ojo de buen cubero, el método ya se puede utilizar y lo complicado es hacerlo preciso.  Realmente hay que encontrar una fórmula que nos permita determinar con exactitud o al menos acotar, dados los parámetros, cuantas permutaciones diferentes contendrá el entorno de la identidad. Esto ya es posible para la circunferencia (asumiendo que no tenga repeticiones, que las puede tener; sirva por lo tanto como cota superior).    

–el resultado de Erdos-Turan.

–la aplicación del resultado de Erdos-Turan para determinar el orden del IAS típico, según hemos comentado en anteriores entradas. Por cierto acabo de comprobar que este resultado ya se había demostrado en 2010

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