Archive for the ‘ALGORITHMICS, NEW SUBRUTINES’ Category

Metablogging. ¡¡ Estoy hasta los h…!!

febrero 26, 2017

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Algorítmica y complejidad computacional. Un nuevo estilo / problema en matemáticas.

enero 26, 2017

Lo hemos comentado muy recientemente en una entrada anterior (perdón por la autocita).

Es el nuevo estilo de publicación: sin estar seguro de que lo que se tiene entre manos y publica es 100% correcto. Al igual que los problemas que se intentan resolver, las demostraciones son cada vez más complejas y necesitan múltiples mentes para la comprobación de su corrección.

Se ha publicado una interesante entrada en el blog GLL en la que hablan sobre este  mismo tema

The issue is simple:

Someone writes up a paper that “proves” that X is true, where X is some hard open problem. How do we check that X is proved?

The proof in question is almost always long and complex. So the checking is not a simple matter. In some cases the proof might even use nonstandard methods and make it even harder to understand.

y comentan sobre las posibles reacciones a este nuevo estilo de matemáticas.  Recomendamos su lectura.

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Algorítmica y complejidad computacional. Otra conjetura (dicotomia Feder-Vardi en CSPs) posiblemente resuelta.

enero 12, 2017

Es el nuevo estilo de publicación: sin estar seguro de que lo que se tiene entre manos y publica es 100% correcto. Al igual que los problemas que se intentan resolver, las demostraciones son cada vez más complejas y necesitan múltiples mentes para la comprobación de su corrección.

Me interesé en las dicotomías relacionadas con CSP en su momento, cuando estudiaba sobre temas de complejidad computacional. Esta dicotomía además tiene que ver con digrafos, en los que tenemos interés en general. Y para más inri tiene que ver con homomorfismos entre digrafos y uno de los pasos de nuestro método es precisamente un homomorfismo entre digrafos. Por lo tanto vamos a hacer seguimiento. Pero ojo, no estamos afirmando que este resultado tenga nada que ver con el nuestro.

El artículo:  Dichotomy for Digraph Homomorphism Problems

We consider the problem of finding a homomorphism from an input digraph G to a fixed digraph H. We show that if H admits a weak-near-unanimity polymorphism ϕ then deciding whether G admits a homomorphism to H (HOM(H)) is polynomial time solvable. This confirms the conjecture of Bulatov, Jeavons, and Krokhin, in the form postulated by Maroti and McKenzie, and consequently implies the validity of the celebrated dichotomy conjecture due to Feder and Vardi. We transform the problem into an instance of the list homomorphism problem where initially all the lists are full (contain all the vertices of H). Then we use the polymorphism ϕ as a guide to reduce the lists to singleton lists, which yields a homomorphism if one exists.

el blog dónde he visto la noticia.

Algorítmica y complejidad computacional. El problema P vs. NP, un survey.

enero 8, 2017

El autor del survey es el merecidamente popular bloguero (y por supuesto académico experto en computación cuántica) Aaronson.

Lo he leído muy muy en diagonal este finde aprovechando que tenía un potente resfriado, lo cual en general y paradójicamente me inspira. Me ha gustado sobre todo (y mucho) el punto 6, en el que he concentrado mi tiempo. Los otros puntos, que finalmente me he saltado, diría que no aportan demasiado a cualquiera que ya conozca el tema (aunque yo lo tengo completamente oxidado y me vendría bien un recordatorio, así que lo leeremos más detalladamente en otra ocasión).

El punto 6 repasa las barreras o limitaciones teóricas que se han encontrado (y se pueden encontrar) en los intentos de demostraciones de esta conjetura (tema muy bien explicado que finalmente creo que he comprendido, pero que nadie me pida que se lo explique ahora :-); nos demuestran que hay niveles de abstracción inadecuados o más bien insuficientes para atacar este problema, sea por exceso o sea por defecto, lo cual da que pensar; realmente los nombres elegidos para las denominarlas no dicen mucho de lo que luego son) así como algunos enfoques prometedores, que permiten saltarse estas barreras (aunque a lo mejor se encontrarán con otras) como el utilizar cotas superiores algorítmicas para demostrar cotas  inferiores teóricas y así separar clases de complejidad (método que ya ha dado sus frutos hace unos años, separando dos clases de complejidad, eso sí muy extremas; también tiene un nombre raro) o el enfoque llamado Geometric Complexity Theory que aplica técnicas de geometría algebraica (el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicases decir a ecuaciones polinómicas multivariables, cuando las variables recorren determinados tipos de estructuras algebraicas) a estos temas. Gracias a este survey también he comprendido este último enfoque, obviamente en líneas muy muy generales (idem, que  nadie me pida que se lo explique…).  El autor no entra en demasiados detalles técnicos al respecto, lo cual algunos agradecerán, pero nos da una visión de (un) pájaro con muy buena vista. Por lo visto a algunos expertos este enfoque les parece una complicación innecesaria; a otros un camino viable.

Espero lector, que disfrutes del  survey.

Por cierto, al leerlo me he acordado de un tema que tenemos pendiente de comprobar con respecto a nuestro método de demostración de no hamiltonicidad en casos, que bien por ser entangled o twisted, no tienen recorridos hamiltonianos, método que hemos detallado largamente en varias entradas el pasado verano: ¿ como escala este método con el tamaño del input ?.

Ya en el peor caso, sólo determinar o decidir si un caso es entangled puede ser subexponencial (cota de Landau). Si es entangled el caso es potencialmente complicado y ya podemos decidir abandonarlo sin más e identificar otro que sea potencialmente sencillo.

Pero si por los motivos que sean nos gustan sus propiedades conocidas y además queremos que tenga recorridos hamiltonianos luego hay una serie de pasos más que nos permiten demostrar que no los tiene y aplicar el  razonamiento contrapositivo, según hemos detallado en las entradas del año pasado. Así de memoria pensamos no incrementarán la cota teórica señalada en el peor caso (según pienso hablaríamos de una suma de operaciones de complejidad subexponencial, lo cual sólo añadiría constantes). Pero queremos comprobarlo.

De  cualquier manera ya la cota subexponencial peor caso sólo para decidir si el caso es entangled nos deja completamente insatisfechos…Por otra parte también hemos comentado en varias entradas anteriores que hay buenos argumentos para pensar que el caso medio no será subexponencial, sino más bien cuasipolinómico (ver también aquí), lo cual nos consuela. Por otra parte de momento no hemos investigado si hay un test más eficiente para identificar si un caso tiene las propiedades de entrelazado (entanglement) o de retorcimiento (twistedness). No me parece fácil mejorar el  estado del arte en esto, pero tampoco imposible.

Algunos extractos (barriendo para casa :-)):

 –2.2.1 Search, Decision, and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Es un extracto del índice. En el punto indicado nos explica la diferencia entre estos problemas (también la no diferencia desde el punto de vista de complejidad computacional). ¿ Por qué es tan complicado entender esta diferencia ?

–Just as Hilbert’s question turned out to have a negative answer, so too in this case, most computer scientists conjecture that P!= NP: that there exist rapidly checkable problems that aren’t rapidly solvable, and for which brute-force search is close to the best we can do. This is not a unanimous opinion. At least one famous computer scientist, Donald Knuth [151], has professed a belief that P = NP, while another, Richard Lipton [171], professes agnosticism.   

Desconocía esta posición de Knuth tan extrema (bastante reciente; la referencia es: D. E. Knuth and E. G. Daylight. Algorithmic Barriers Falling: P=NP? Lonely Scholar, 2014; se trata de una entrevista). Si conocía la del otro investigador pues leemos su blog. Son, dicho sea con todos los respetos, dos veteranos que ya no tienen nada que demostrar a nadie ni nada que temer y, a calzón quitao, muestran un escepticismo a contracorriente muy sano y recomendable, que equilibra la balanza. Hace poco hicimos una entrada sobre otro investigador, más joven, que también expresaba sus dudas abiertamente.

–More broadly, there are many cases in mathematics where we can prove that some object O of interest to us has a property P, even though we have no hope of finding a general polynomial time algorithm to decide whether any given object has property P, or even to certify a large fraction of objects as having property P. In such cases, often we prove that O has property P by exploiting special symmetries in O—symmetries that have little to do with why O has property P, but everything to do with why we can prove it has the property. As an example, a random graph is an expander graph (that is, a graph on which a random walk mixes rapidly) with overwhelming probability. But since the general problem of deciding whether a graph is an expander is NP-hard, if we want a specific graph G that’s provably an expander, typically we need to construct G with a large amount of symmetry: for example, by taking it to be the Cayley graph of a finite group. Similarly, even though we expect that there’s no general efficient algorithm to decide if a Boolean function f is hard,51 given as input f’s truth table, we might be able to prove that certain specific f’s (for example, NP- or #P-complete ones) are hard by exploiting their symmetries. Geometric Complexity Theory (see Section 6.6) is the best-known development of that particular hope for escaping the natural proofs barrier.

Esta es la única mención honorífica a los Grafos de Cayley en todo el survey, en un contexto perfectamente conocido desde hace años. Pero lo hemos extractado sobre todo porque es una prueba más del hecho de que demostrar que un grafo tiene determinadas propiedades, y sólo esto, añade valor. Cosa que de nuevo parece que a algunos les cuesta comprender.

–ETH is an ambitious strengthening of P!= NP. Even assuming P!= NP, there’s by no means a consensus in the field that ETH is true—let alone still further strengthenings, like the Strong Exponential Time Hypothesis or SETH, which asserts that any algorithm for kSat requires Ω ((2 − ε) n ) time, for some ε that goes to zero as k → ∞. SETH, of course, goes even further out on a limb than ETH does, and some algorithms researchers have been actively working to disprove SETH (see [275] for example).

En el blog nos hemos interesado bastante por la conjetura ETH hace años.

–But now we come to the main insight of GCT, which is that the permanent and determinant are both special, highly symmetric functions, and it’s plausible that we can leverage that fact to learn more about their orbit closures than we could if they were arbitrary functions. For starters, Per (X) is symmetric under permuting X’s rows or columns, transposing X, and multiplying the rows or columns by scalars that multiply to 1. That is, we have

Per (X) = Per ( XT ) = Per (P XQ) = Per (AXB) (2)

for all permutation matrices P and Q, and all diagonal matrices A and B such that Per (A) Per (B) = 1.

The determinant has an even larger symmetry group: we have

Det (X) = Det ( XT ) = Det (AXB) 

Nos gusta la simetría. Muy interesante. En esto se basa todo el enfoque GCT, al parecer.

Algorítmica y Complejidad Computacional. Recopilación de enlaces, noviembre 2016: Redes de Interconexión, Grafos de Cayley, Recorridos Hamiltonianos, Permutaciones y otros. 

noviembre 30, 2016

Una recopilación de artículos sobre los temas que aparecen en el título, realizada en fechas varias, la última esta misma mañana (por el lunes), en la cual he encontrado cosas muy interesantes con respecto a potenciales aplicaciones. Aunque ya se sabe que entre la ingeniería apegada a la tierra y las elevadas matemáticas se encuentra el limbo de potenciales aplicaciones que nunca terminarán de concretarse en sistemas reales.

Antes de empezar con los enlaces un extracto de una muy reciente entrada en un blog de un experto en complejidad computacional. Creo que es reseñable ya que la declaración es sorprendente, contundente y va contracorriente:

The bottom line of this post is that we can’t prove lower bounds because they are false, and it is a puzzle to me why some people appear confident that P is different from NP.

Añadido a última hora.

On the Complexity of the Word Problem of Automaton Semigroups and Automaton Groups

I. Enfoque de ingeniería de redes: redes de interconexión (supercomputadores, NoC´s, Data Center Networks).

Data center interconnection networks are not hyperbolic

David Coudert1,2 and Guillaume Ducoffe2,1 1 Inria, France 2Univ. Nice Sophia Antipolis, CNRS, I3S, UMR 7271, 06900 Sophia Antipolis, France

Abstract Topologies for data center networks have been proposed in the literature through various graph classes and operations. A common trait to most existing designs is that they enhance the symmetric properties of the underlying graphs. Indeed, symmetry is a desirable property for interconnection networks because it minimizes congestion problems and it allows each entity to run the same routing protocol. However, despite sharing similarities these topologies all come with their own routing protocol. Recently, generic routing schemes have been introduced which can be implemented for any interconnection networks. The performances of such universal routing schemes are intimately related to the hyperbolicity of the topology. Roughly, graph hyperbolicity is a metric parameter which measures how close is the shortest-path metric of a graph from a tree metric (the smaller gap the better). Motivated by the good performances in practice of these new routing schemes, we propose the first general study of the hyperbolicity of data center interconnection networks. Our findings are disappointingly negative: we prove that the hyperbolicity of most data center topologies scales linearly with their diameter, that it the worst-case possible for hyperbolicity. To obtain these results, we introduce original connection between hyperbolicity and the properties of the endomorphism monoid of a graph. In particular, our results extend to all vertex and edge-transitive graphs. Additional results are obtained for de Bruijn and Kautz graphs, grid-like graphs and networks from the so-called Cayley model.

–Muy interesante. Y muy reciente, de 2016.

The Influence of Datacenter Usage on Symmetry in Datacenter Network Design

Alejandro Ericksona , Iain A. Stewarta,∗ aSchool of Engineering and Computing Sciences, Durham University, South Road, Durham DH1 3LE, U.K.

Abstract We undertake the first formal analysis of the role of symmetry, interpreted broadly, in the design of server-centric datacenter networks. Although symmetry has been mentioned by other researchers, we explicitly relate it to various specific, structural, graph-theoretic properties of datacenter networks. Our analysis of symmetry is motivated by the need to ascertain the usefulness of a datacenter network as regards the support of network virtualization and prevalent communication patterns in multi-tenanted clouds. We argue that a number of structural concepts relating to symmetry from general interconnection networks, such as recursive-definability, the existence and dynamic construction of spanning-trees, pancyclicity, and variations of Hamiltonicity, are appropriate topological metrics to use in this regard. In relation to symmetry, we highlight the relevance of algebraic properties and algebraic constructions within datacenter network design. Built upon our analysis of symmetry, we outline the first technique to embed guest datacenter networks in a host datacenter network that is specifically oriented towards server-centric datacenter networks. In short, we provide the graphtheoretic foundations for the design of server-centric datacenter networks so as to support network virtualization and communication patterns in cloud computing.

Extractos.

Whilst the design of DCNs is more recent, it has much in common with general interconnection network design yet there are profound differences too, prompted by, for example, usage, scale, and packaging. Hitherto, the most common metrics used for DCN evaluation are the availability of routing algorithms, hardware cost (e.g., number of servers and switches), hardware complexity (e.g., number of server-ports), diameter, bisection width, connectivity, and shortest-path lengths. It is probably fair to say that the development of appropriate topological metrics for DCNs is not as advanced as it is for distributed-memory multiprocessors and networks-onchips, and that the validity of these topological metrics within a datacenter environment is not as well established. Our paper seeks to strengthen the role of topological metrics in DCN design.

Our work sits between the engineering process of building datacenters and the theoretical consideration of abstractions of DCNs as discrete structures; that is, it is graph theory targetted towards a practical application area.

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2 casos de S6 (720 vértices), C2C4.

septiembre 12, 2016

Disclaimer. Entrada en construcción en la parte de actualizaciones. Puede contener errores. Estará terminada cuando desaparezca este mensaje. 

¡¡ Actualizado 19 de septiembre: ya está claro el esbozo del método de obtención de un certificado de no hamiltonicidad para los casos twisted. Ya le hemos puesto nombre y todo :-): método de la escalera. Para más detalles ver en este mismo post la actualización correspondiente al final !!.

En esta entrada mostramos las imágenes correspondientes a 2 los dos casos de S6 del tipo C2C4 (es decir, que tienen un generador de orden 2 y otro de orden 4).

Tenga el lector en cuenta que ya en estos casos, que si tienen recorridos hamiltonianos, tienen pocos, ya empieza a ser prohibitivo el  usar métodos algorítmicos. Incluso, como veremos, aplicar nuestro algoritmo, tal y como está programado ahora mismo (sin incorporar los últimos avances que hemos descrito en las últimas entradas) es prohibitivo: puede tardar semanas.

1.Caso de S6, C2C4, IAS 5, Circunferencia 10. No es ni 1-twisted ni 2-twisted.   

Comentar primero que finalmente he puesto a prueba este caso  con nuestro algoritmo y tras varios días tuve que apagarlo (ya que necesitaba usar el ordenador para otros temas) sin haber podido determinar si tiene recorridos hamiltonianos en uno de los  dos vértices finales posibles en los que puede tenerlos.

Por ello nos resulta de gran interés poder pulir los métodos que estamos describiendo en las anteriores entradas para poder determinar sus propiedades de hamiltonicidad sin necesidad de aplicar el algoritmo. O de manera alternativa También incorporar los avances señalados en las anteriores entradas al algoritmo (los que aceleran el encontrar un recorrido hamiltoniano en este tipo de casos cuando existe) para que pueda determinar esto mismo de manera más eficiente.

Nota. Es muy importante tener en cuenta que una cosa son los problemas de existencia y otra los problemas de construcción. En algunos  casos nos puede interesar conocer si un caso en concreto puede tener recorridos hamiltonianos o no, sin objetivos constructivos, sin necesitar construir un recorrido hamiltoniano en concreto aunque estos existan.

En otros casos una vez aclarado positivamente el tema de la existencia nos puede interesar construir uno, varios o todos los recorridos hamiltonianos del caso que estudiamos.

Cualquiera de estos dos problemas o de estas dos fases del mismo problema nos interesa resolverlos de la manera más eficiente posible. Tan práctico y útil para el investigador de estos problema es lo uno como lo otro.  Espero que esto lo tengan claro en la USPTO.  Fin de nota.

Como se puede ver no es ni 1-twisted ni 2-twisted y según la definición más restrictiva  sería smooth. Pero como ya como comentamos en otra entrada, no nos interesa una definición esencialista, escolástica, sino  una pragmática.  ¿ Que pasa en este tipo de casos, según el análisis que hemos presentado en  la entrada anterior ?. ¿ Es twisted o smooth en sus efectos ?. Lo dejamos como problema de momento…

La imagen se puede agrandar, para un poco  más de claridad. No está completo. Se muestra con una linea más oscura solo uno de los pares de permutaciones repetidas al expandirlo.

s6-twisted-o-smooth

Vamos a calcular las cotas teóricas de las fronteras para este caso, según el método apuntado en la entrada justo anterior. Tiene 720 vértices /ciclos de orden 4 / orden de IAS 5 = 36. Hay 720 / 5 = 144 IASes. Por lo tanto la cota de la frontera del generador 2 es  (36,108). Y para el generador de orden 4 es (72,72). ¿ No hay un patrón aquí: cuando el ciclo es de orden 2, no tiene que estar la frontera en la  mitad ?. En fin, las cotas teóricas para este caso son [C2(36, 108);C4(72,72)].

El rango que está entre las cotas teóricas de las fronteras tiene 36 pares. Es bastante más amplio que en el caso 2-twisted estudiado en la entrada anterior. Lo que no tengo claro es como funciona en este caso el mecanismo de amplificación, al no ser ni 2-twisted ni 1-twisted. No puedo dimensionarlo esta segunda pata con la que anda el método (de momento ni por aproximación) y esto es clave para determinar si el caso puede tener recorridos hamiltonianos (en este caso caminos) o no. No es fácil analizar manualmente estos casos de 720 vértices…

2. Caso de S6, IAS 6, circunferencia 3 (6 IASes). Es 2-twisted.

Este caso, pese a ser 2-twisted, tiene recorridos hamiltonianos según la investigación de Ruskey y Effler. No sabemos si se conformaron con encontrar un RH en uno de los dos vértices finales posibles que pueden serlo de un ciclo hamiltoniano o lo determinaron para los dos. Imaginamos que la primera opción es la correcta.

La pregunta es si este caso también tiene recorridos hamiltonianos en el resto de vértices finales posibles. Para ello pusimos a prueba este caso con el algoritmo para encontrar un camino hamiltoniano en uno de los vértices finales posibles y tras varios días de computo tuvimos  finalmente que apagar el programa ya que necesitábamos utilizar el ordenador para otros usos.

¿ Podemos utilizar los métodos de las  entradas anteriores para determinar si tiene recorridos hamiltonianos en todos los VFs sin necesidad de aplicar el algoritmo ?.

El caso en cuestión (no está completo).Hemos marcado en rojo las permutaciones que se repiten en el IAS nº 8 y en el nº 23. Esto demuestra que el caso  es 2-twisted:

s6-ias7

Primero es interesante comparar este caso con el caso 2-twisted de S5 que estamos comentando en otras entradas. Las propiedades de ese son S5, IAS 5, Circunferencia 6. Como el IAS es 5 se aplica el teorema de Rankin y sabemos que no puede tener recorridos hamiltonianos. Este de S6 es IAS 6, circunferencia 6 y sabemos que si tiene recorridos hamiltonianos al menos en uno de los dos vértices finales posibles. Aunque los dos son 2-twisted, por ser uno de IAS impar y el otro par no son del todo comparables.

Vamos  a determinar las cotas teóricas de las fronteras del rango de la distribución para este caso.

–C2: 720 vértices  /ciclos de orden 4 /IAS de orden 6 = 30. 720 / 6 = 120. Por lo tanto (30, 90).

–C4: 720 vértices / ciclos de orden 2 / IAS de orden 6 = 60. Por lo tanto (60,60).

Las fronteras teóricas del rango para este caso son [C2(30,90); C4(60, 60)]. Hay unos 30 pares con activaciones que podrían tener recorridos hamiltonianos.  Bastante más que en el  caso 2-twisted anterior.

Como este caso es 2-twisted, y ya tenemos referencias de casos similares (similares pero no exactamente con los mismo parámetros: el otro caso 2-twisted tiene IAS 5 y este IAS 6) más manejables, vamos a ver si es posible dimensionar la otra pata del método (lo que hemos  llamado la media) en él.

En otra entrada hemos manejado la idea de que el amplificador es constante dado el orden del IAS. Si esto se confirmase ya estaría gran parte del  trabajo realizada. Sólo habría que determinar cual es la contribución del tamaño del IAS a la diferencia en los efectos del amplificador.

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Diferencia entre un caso twisted y otro smooth (2).

septiembre 12, 2016

1.No tengo demasiado tiempo ahora para desarrollar las entradas anteriores sobre este mismo tema plenamente. Vamos a describir rápidamente la diferencia más importante, a efectos prácticos de un caso smooth (S5, sigma-tau) y otro twisted (S5, 2-twisted). Soy consciente de que el sigma  tau es C2C5 pero como se verá esto no es relevante (los escépticos al respecto tendrán que esperar a que se analice un caso C2C5 o C2C6 twisted…).

Cuando  hemos marcado el IAS de la identidad (VF ciclo) y su opuesto por el generador de orden 4, y alguno intermedio que maximice el número de IASes marcados (hay diferencias y esto se puede hacer para los dos casos) se trata de aplicar el siguiente método:

Paso 1. Hacer una lista de los ciclos que tengan al menos 2 arcos marcados.

Paso 2. Dentro de esta lista identificar que IASes tienen presentes arcos en varios de los ciclos. Si marcamos estos en un digrafo de C2C4, ya tendremos que marcar el otro arco de todos estos ciclos por el generador de orden 2 para evitar obtener ciclos de C4. Así maximizamos el nº de IASes marcados cuando tengamos que extraer las consecuencias. Puede haber varios IASes que cumplan con esta condición.  Supongamos (hipotéticamente) por ejemplo el IAS nº 2 y el IAS nº 5 y el IAS nº 7.

Paso 3. identificar algún IAS tal que al ser marcado por C2 obligue a estos tres IASes a ser marcados por el generador de orden 4. De esta manera maximizamos todavía más el número de IASes que serán marcados en cada opción, al extraer sus consecuencias. Supongamos que el IAS 9 cumple esta condición.

Entonces, elegimos la opción de marcar el IAS 9 por el generador de orden 2, esto tiene como consecuencias que los IASes 2,5 y 7 tienen que ser marcados por el generador de orden 4 y a su vez los arcos que completan estos tres ciclos tendrán que ser marcados por el generados de orden 2.

Lo importante es que al  marcar uno solo IAS obtenemos, como consecuencia muchos otros IASes marcados (llamemos a esto efecto multiplicador, por ponerle algún nombre), algunos por el generador de orden 2 y otros por el de orden 4, pero en una determinada proporción desequilibrada. Esto  se puede repetir de manera iterativa de tal manera que al final le media de la que hemos hablado en las anteriores entradas sale elevada.

La diferencia entre un caso smooth y uno  twisted es que los casos smooth, en el paso 2 no vamos a encontrar un IAS que tenga varios arcos en diferentes ciclos de los que ya tienen marcados . Por lo tanto no se puede obtener este efecto multiplicador y la media saldrá baja. Y en los casos 1-twisted y 2-twisted si se encontrarán y por lo tanto se dará el efecto multiplicador

Veamos esto con detalle (hemos realizado exactamente las mismas operaciones en los dos casos antes de realizar la lista de ciclos).

Lista de ciclos del caso 2-twisted (los datos no son hipotéticos, son reales; los números indican el número de IAS (los IASes se han numerado de manera arbitraria, un número es equivalente a un color); los signos más o menos indican si el IAS correspondiente está marcado o no; la lista incluye solo a aquellos ciclos que tienen 2 o más arcos marcados).

Una imagen del caso con los IASes marcados tal y como se han indicado. Es en esta imagen en la que  nos hemos basado para realizar las tablas siguientes. Por lo  tanto la numeración se corresponde con al del texto. El nº del IAS aparece al lado de los arcos. El IAS amarillo, el nº 18 que rodea el digrafo es el que se marca como tercera opción, por el generador de orden 2, tras marcar el IAS de la identidad y su opuesto dentro de la circunferencia  por el generador de orden 4:

s5-c2c4-twisted-22

Tabla 1.

1+,6-,7+,8-

1+,8-,10+,11-

1+,11-,12+,2-

1+,2-,3+,4-

1+,4-,5+,6-

23+,7+,6-,13-

3+,23+,9-,4-

Para simplificar hagamos ahora una lista de los IASes que no están marcados en cada ciclo.

Tabla 2 derivada de la tabla 1 simplificando.

6,8

8,11

11,2

2,4

4,6

6,13

9,4

Vemos que el IAS 6 tiene arcos en 3 ciclos, al igual que el 4. El 8,11 y 2 tienen arcos en dos ciclos. Por lo tanto 6,4,8,11 y 2 son los IASes de nuestro interés.

El siguiente paso, el Paso 3, sería identificar IASes que estén unidos al 6 y al 4 y posiblemente a alguno de los otros 3. Si existe, se selecciona el que maximice el numero de IASes. En el caso en concreto hay varias posibilidades: el IAS nº 24 por ejemplo conecta con el 6 y con el 11 y con otros cuatro, ninguno de ellos marcado; el IAS 13 conecta con el 2, con el 17 y con otros 4 uno de ellos ya marcado etc…. Habrá que seleccionar la opción que conecte con más de ellos y si es posible que tengan presentes más arcos en diferentes IASes.

El lector podrá comprobar como el que suceda este fenómeno depende de la propiedad de ser retorcido o twisted.

Lista de ciclos para el caso Sigma-Tau (caso real, nos ceñimos a la tabla 2; se han obtenido tras marcar el IAS de la identidad y su opuesto por el generador de orden 4, y marcando como tercera opción un IAS seleccionándolo para que maximizase el nº de IASes marcados).

Por cierto, tras consultar en mi base de datos, confirmo que este caso Sigma-Tau tiene recorridos hamiltonianos en todos los vértices finales posibles.

La imagen (idem anterior):

s5-sigma-tau-22

Tabla 2 (ninguno de los IASes que aparecen está marcado).

5,6,24

10,11,2

8,28,16

12,27,20

No hay ninguno repetido. Es importante señalar que en realidad si hay varios ciclos tal que un mismo IAS pasa por ellos pero en todos ellos hay un arco de orden 4 marcado como que no se debe de marcar (es decir su correspondiente IAS está ya marcado por el generador de orden 2) y por lo tanto este ciclo no se puede compltar, que es lo que nos preocupa. Estos ciclos con una arco marcado como que no se debe de marcar no cuentan.

Como había otro IAS candidato a la tercera opción hemos repetido el proceso para varios IASes diferentes, para todos los candidatos y estas son las tablas de tipo 2 que se obtienen:

2,4,5

10,24,9

20, 19, 8

12,16, 25

De nuevo, ninguno repetido, como puede comprobar el lector. En el caso Sigma-Tau, como en todos los smooth, no hay efecto multiplicador y por lo tanto no existe el mismo obstáculo que en los twisted a la hora de que pueda haber recorridos hamiltonianos.

De la misma manera, seguramente en los smooth, seguramente no será posible encontrar un IAS en el paso 3 que sea más ventajoso que el resto. Cada opción en los casos smooth es mucho más independiente que en los casos twisted.

2. Lo anterior obviamente no es una demostración de que el caso 2-twisted no puede tener recorridos hamiltonianos. Los parámetros del caso analizado 2-twisted son S5, C2C4, IAS5 y circunferencia 6. como el IAS es de orden 5, tiene 24 IASes y por lo tanto la distribución recorre desde 0 IASes activados por el generador de orden 2 y 24 activados por el de orden 4, es decir (0,24) al otro extremo (24,0). Interesa determinar un método rápido que nos permita identificar las fronteras, es decir entre que intervalos de pares [(0,24); (x,y)] y [(w,z); (24,0)] sabemos que no pueden existir RHs. Ahora mismo, para este caso en concreto no me parece evidente determinar esto salvo los extremos extremos, pero igual es que es última hora del día…

Los parámetros del caso Sigma-Tau son S5, C2C5, IAS4 y circunferencia 6. Tiene por lo tanto 30 IASes y el rango de la distribución recorre (30,0) a (0,30).  Idem anterior.

Actualización día siguiente.

El método más directo para determinar acotar la frontera es el siguiente (vale para cualquier caso). Nos conformamos con acotar la frontera.  Pienso que será suficiente para lo que nos interesa.

Frontera para el generador de orden 2.

El  método (que hoy me parece obvio) es el siguiente:

–Obtenemos primero el nº de ciclos de orden 4 que tiene el caso. Para el 2-twisted hay 120/4 = 30.

–Si queremos que no aparezca un ciclo de estos con todos los arcos marcados, tiene que haber en cada uno de ellos al menos un arco desactivado por el generador de orden 4. Y por lo tanto el IAS de ese arco tendrá que ser activado por el generador de orden 2. Por lo tanto tiene que haber al menos 30 arcos marcados por el generador 2.

–Como el IAS es de orden 5, cada IAS tiene 5 arcos del generador 2. Para obtener la cota dividimos el número obtenido anteriormente, 30, que indica el número de arcos que deberán de ser activados por el generador 2, por el número de arcos del generador 2 que contanga un IAS, que es equivalente al orden del IAS, en este caso 5. Es decir 30/5 = 6. La cifra obtenida, 6 en este caso nos da el número de IASes mínimo que tendremos que marcar para que no haya un ciclo de orden 4.

¿ Podemos concluir que tiene que haber al menos 6 IASes marcados por el generador 2 para que pueda haber recorridos hamiltonianos  y que por lo tanto (6,18) es la frontera para el generador de orden 2 ?. Es decir que menos de 6 IASes marcados por el generador 2, no puede haber recorridos hamiltonianos, y más de 6 IASes sí puede haberlos.

No lo tengo claro: ¿ no puede haber algún ciclo que contenga arcos de dos de los 6 IASes diferentes y por lo tanto aunque marquemos 6 IAses todavía habría ciclos de orden 4 sin ningún arco marcado como que no puede ser activado ? . Hagamos la pregunta traducida a un lenguaje experimental: en el caso 2-twisted ¿ podemos seleccionar entre los 24 IASes 6 de ellos tal que al activarlos por el generador de orden 2 todos los ciclos de orden 4 tengan un arco de orden 4 desactivado ?.

¿ Y en el caso Sigma-Tau ?. Apliquemos este método al caso Sigma-Tau para ver cuantos IASes tendríamos que marcar. 120/5= 24 ciclos de orden 5. Hay que marcar 24 arcos por el generador de orden 2. El IAS es de orden 4 y por lo tanto cada IAS tiene 4 arcos de orden 2. 24/4=6. También en este caso hay que marcar 6 IASes entre 30. Aquí tenemos más espacio, lo cual ya es un dato….

Tras estudiar este tema para el caso Sigma Tau (de manera no sistemática, no he agotado todas las posibilidades, pero no hay duda) se puede concluir que para este caso no existen 6 IASes independientes entre los 30.

La segunda conclusión es que cuando no existe este número mínmo de IASes independientes, al haber repeticiones, hay que marcar más IASes que los que indica este límite teórico para que todos los ciclos de orden 4 tengan al menos un arco desactivado.

Por lo tanto este método, que se puede aplicar de manera muy rápida cuando conocemos los parámetros, nos sirve para encontrar una cota inferior de la frontera.   En algunos casos, conocer esta cota inferior será suficiente para poder demostrar que el caso en cuestión no puede contener recorridos hamiltonianos.

La fórmula para encontrar esta cota inferior es:

Cota frontera = (Orden del digrafo / orden del ciclo) / orden del IAS. 

Calculemos las dos cotas para el caso Sigma-Tau y para el 2-twisted.

Sigma-Tau: [C2(6,24);C4(15,15)]. Es decir menos o 6 IAses marcados por C2, no podría haber recorridos hamiltonianos; menos o 15 IASes marcados por C4 tampoco podría haber recorridos hamiltonianos. La situación con respecto a los pares contenidos entre estas fronteras es indeterminada.

2-Twisted: [C2(6,18); C4(12,12)]. Idem anterior. Aquí vamos a concretar: podría haber recorridos hamiltonianos con 7 IASes marcados por el generador de orden 2 y 17 IASes marcados por el generador de orden 4. Con (8,16), con (9,15), con (10,14) y con (11,13). El rango entre las cotas de las fronteras es menor que en el caso Sigma-Tau.

Los conceptos y métodos que hemos expuesto en las entradas anteriores lo que permitirían (el tema está en investigación) es demostrar que en los casos twisted, por el fenómenos de multiplicador o amplificación que la propiedad twisted provoca o permite, no son posibles activaciones “coherentes” que nos lleven al rango que está entre las cotas de las fronteras teóricas. Cualquier activación posible dentro de este rango que intente evitar ciclos no hamiltonianos, hará que acabemos en activaciones por debajo de las cotas teóricas de la frontera.

Comentar que en todas las últimas entradas no estamos teniendo en cuenta consideraciones de complejidad computacional. Pero cuando hayamos aclarado todas estas dudas estas consideraciones serán clave: encontrar test rápidos  y que utilicen poca memoria de retorcimiento.

Fin de actualización.

Caso de S5, C2C4 Twisted.

agosto 24, 2016

Disclaimer. Entrada en construcción. Cuando esté terminada, eliminaremos este mensaje.

En entradas anteriores hemos analizado casos entrelazados (entangled) y hemos visto como esta propiedad era clave para que emergiesen obstrucciones a la hamiltonicidad. En otras hemos realizado lo mismo para casos Twisted, pero de manera poco satisfactoria en nuestra opinión. En esta entrada lo intentamos de nuevo para casos Twisted, creo que de manera algo más clara ilustrativa. Pienso que el tema va tomando ya forma, aunque todavía hay algunos interrogantes.

En linea con la última actualización presentamos el análisis, según vamos realizando de un caso 1-twisted de S5. Ya lo hemos presentado en una anterior entrada pero con otro análisis. Con éste se aprecia claramente el efecto de la propiedad twisted.

1.Opción 1. 

Nota al margen 1.

Pido disculpas al lector por lo confuso de los dibujos. No tengo tiempo para hacerlos con más claridad y para lo que me interesa, es suficiente.

Fin de nota al margen 1. 

S5 c2 c4 twisted

Hemos marcado el IAS de la identidad por el generador de orden 2. Y su opuesto, el IAS de color violeta que contiene el arco 31245–>32154 entre otros, también por el generador de orden 2. Extraemos la consecuencias de estas dos opciones y el efecto es una contradicción que se aprecia en el ciclo 23145–>34215–>41325–>12435.

Los factores determinantes que generan obstáculos a la hamiltonicidad en los casos twisted.

¿ A que se debe que el efecto de realizar estas opciones sea una contradicción ?:

–primero, que el IAS amarillo que contiene, entre otros, el arco 34152–>31425, está conectado con el IAS de la identidad y al marcar este último en un sentido, obliga a ser marcado en el otro.

–segundo, que este IAS amarillo se tuerce (esto es precisamente la propiedad de twisted) y se conecta con otro IAS que está conectado con el de la identidad y que también “sufre”  sus consecuencias.

–Tercero, idem anterior con respecto al IAS opuesto a la identidad y los dos IASes conectados con él directamente por un generador de orden 2, y que intervienen en el fenómeno, es decir el de color verde que contiene, entre otros el arco 21354–>15234 y el de color negro o azul oscuro, que contiene el arco 14325–>13452 y que aunque no se aprecia se retuerce también.

–cuarto, el hecho de que el ciclo es de orden 4, es decir corto, también ayuda. A  medida que los ciclos sean más largos será más complicado que se genere la obstrucción. Es un hecho que si bien todos los del tipo C2C4 de S5 no tienen RHs en ninguno de los VFs posibles, los del tipo C2C5 o C2C6 son más bien del tipo que tienen RHs en algunos de los VFs. Ya lo hemos visto en otras entradas. Para más detalle el lector puede leer concretamente esta entrada.

Nota al margen 2.

De momento ya damos por resueltos los casos C2C3 (digamos que hay una “teoría general” para todos ellos, basada en el resultado de Milnor).

Ahora nos estamos concentrando en algo similar para los casos c2C4 (conseguir una teoría general es un tema más complicado, pero de momento diría que no imposible).

Aunque los hemos recopilado conjuntamente con sus propiedades de hamiltonicidad, no hemos analizado en detalle de momento estos casos C2C5 y C2C6. Lo dejamos para más adelante.

Fin de nota al margen 2.

Nótese que los varios factores señalados, explican completamente el fenómeno. Veamos que pasaría si fallase alguno de ellos. Antes recordamos que el IAS de la identidad no es un IAS cualquiera. Es aquel en el que están localizados los vértices finales posibles y dependiendo del vértice final posible que marquemos, se puede activar de diferentes maneras. Esto lo diferencia de todos los demás IASes. Por otra parte, en el caso de que lo que busquemos sean ciclos, este IAS es equivalente a cualquier otro y por simetría podemos elegirlo. Elegir cualquier otro no cambiaría nada.

–supongamos que la longitud de la circunferencia (en este caso contiene 6 IASes) es mayor y que el amarillo twisted conectase con un IAS. Si la circunferencia fuese más larga y el IAS amarillo conectase con un IAS que no estuviese en contacto directo con el de la identidad. Entonces no se generaría la contradicción, al menos tan directamente, ya que faltaría uno de los arcos para completar el ciclo de orden 4. Por lo tanto en este caso, para que se genere la contradicción de manera tan directa, dos de los IASes tienen que estar conectados con el de la identidad  y los otros dos con su opuesto.

–supongamos que ninguno de los IASes que conectan con el IAS de la identidad son twisted. A continuación el caso Sigma Tau de orden 5 cuyas propiedades de hamiltonicidad conocemos.

Nota al  margen 3.

Sobre el caso Sigma Tau, una famosa familia infinita de dígrafos de Cayley Bigenerados, ver este artículo reciente, dónde utilizando en parte técnicas de nuestra patente, lo resuelven. Como ya hemos señalado en otras entradas, pensamos, cierto que sin evidencias,  que no es casualidad que este problema se haya resuelto tras la publicación de nuestra patente. De hecho hacíamos referencia a él de manera velada en ella. Me pregunto si lo que afirman es que todos los Sigma Tau tienen recorridos hamiltonianos en todos los vértices finales posibles. Para  mi esto sería la solución más completa.

Fin de nota al margen 3.

ignacio reneses sigma tau orden 5

Como se puede ver con claridad, ninguno de los IASes que salen del IAS de la identidad es twisted, como no lo es ninguno de los que salen del IAS opuesto, uno de color rojo que contiene, entre otros el arco 21543–>12543. Al activar los dos IASes, el de la identidad y el opuesto, el efecto es que sólo se activan dos arcos del ciclo de orden 5 de los IASes que están en conexión con ellos.

Se puede concluir que en este caso la propiedad de retorcimiento o twistedness es clave para que se genere la contradicción en este caso y que un caso similar aunque no idéntico que “no la tiene” (ya explicaremos por qué el entrecomillado) no es problemático. Ojo, todavía no hemos demostrado que la propiedad sea clave para que no existan RHs en ninguno de los VFs posibles: quedan 3 opciones de activación del IAS de la identidad y de su opuesto, cuyos efectos iremos viendo en succesivas actualizaciones.  Los casos 1-twisted como este, en los que los IASes que conectan con la identidad están interconectados entre ellos son los más sencillos para ver como opera la propiedad de twistedness. Y son los más sencillos para que el algoritmo determine que no puede haber RHs en ninguno de los vértices finales posibles.

Pero como veremos los casos 2-twisted, de los que mostramos  una imagen a continuación (que ya hemos mostrado en entradas anteriores) no son twisted en los IASes que conectan con el de la identidad. Sin embargo tampoco son como el caso Sigma Tau. Más adelante explicaremos la diferencia.

Ignacio RenesesS5 2-twisted

Sigma Tau y otros casos: diferencias.

¿ Cual es entonces la diferencia entre el caso Sigma Tau, que no es problemático y el caso de la última imagen, que si lo es ?.

Observe el lector primero, que en ambos casos hay IASes del DAS de la identidad que si son retorcidos. Por ejemplo en el Sigma Tau, el amarillo, que contiene el arco 23451–>32451, el gris que se encuentra a su lado o el rosa que se encuentra al lado de este último. Y lo mismo sucede con el caso de la última imagen.

La diferencia es que en el caso Sigma Tau, falta uno de los factores señalados: ninguno de los que son Twisted conectan con un IAS que conecte con el IAS de la identidad por  un generador de orden 2. Bien conectan con IASes que están fuera del entorno de la identidad (definición fija), por ejemplo el IAS amarillo ya señalado, bien conectan con el IAS de la identidad a través de un ciclo de orden 5.

Sin embargo en el caso de la última imagen, los que son Twisted del DAS, como por ejemplo el de color azul que también pertenece a la circunferencia y contiene el arco 45132–>51342 si conectan con un IAS que está en contacto directo con la identidad por un generador de orden 2 y por lo tanto puede sufrir los efectos que se obtienen al marcar este IAS de la identidad de manera mucho más inmediata. En este sentido es un caso más restringido que el anterior, que el Sigma Tau, aunque menos que el 1-twisted.

Otra diferencia (me interesa poder expresar la diferencia de manera más cuantitativa) se puede explicar como  sigue: supongamos  que somos un punto (por ejemplo  una hormiga) que nos movemos en un plano, la hoja dónde se encuentra el dibujo y que estamos dentro del IAS de la identidad. Sólo podemos salir por los arcos de orden 2, que digamos serían las puertas (los de orden 4 o más serían las paredes). Nos interesa contar por cuantos generadores de orden 2 pasamos si salimos de la identidad y llegamos de la  manera más directa posible a IAS que es retorcido y luego regresamos al IAS de la identidad siguiendo el retorcimiento. En el caso de la última imagen, tenemos que pasar cuatro arcos: 12354–>12345; 45123–>45132; 13245–>13254  (para llegar aquí hemos tenido que seguir las “paredes” retorcidas) y 54123–>54132. Es decir, pasando cuatro puertas (y esto es lo mínimo) volvemos al IAS de la identidad. Si realizamos lo mismo con el primer caso 1-twisted, lo podemos hacer pasando tres puertas. Y si lo hacemos con el caso Sigma Tau, no lo podemos hacer con cuatro. No se si es posible hacerlo pasando 5. De momento esta diferencia es más escolástica, pero es posible (y ya veo horizonte) que se pueda hacer pragmática: de alguna manera lo que estamos diciendo es que hay grados de retorcimiento. Cuando menor sea el grado (cuantos menos generadores de orden 2 haya por medio, más restringido, más complicado será el caso en el sentido de contener RHs).

Una tercera diferencia es la manera que tiene el IAS opuesto al de la identidad de conectar con los IASes que conectan con él de manera digamos simétrica, cosa que no sucede en los otros casos. De momento no tengo claro como definir de manera operativa esta diferencia.

2.Opción 2. 

En la opción 2 marcamos el IAS de la identidad por el generador de orden 2 y el opuesto por el generador de orden 4. Esta opción vale por dos, ya que si hacemos la inversa el resultado sería el mismo. En la imagen siguiente la situación al  final de realizar esto y extraer consecuencias. Aquí la contradicción va a surgir de manera menos directa y seguramente hay varias maneras alternativas de generarla algunas más rápidas o cortas que otras.

ignacio reneses 1-twisted opción 2

Nosotros probamos la siguiente estrategia: se trata de demostrar que partiendo de esta situación al marcar un IAS por las dos opciones posibles, las dos llevan a contradicción. Marcamos el IAS azul claro que contiene el arco 43512–>45321 dado que está bastante interconectado con los IASes ya marcados (este es un criterio de selección que se podría automatizar fácilmente).

Si marcamos el IAS azul  claro indicado por el generador 2, entonces se genera una contradicción en el ciclo de orden 4 nº 21 ya que el arco 54321–>42531 del IAs amarillo y el arco 42531–>23451 del IAs rosa se deben de marcar por el generador 4 generandose un ciclo de orden 4 al estar los otros dos arcos de este ciclo ya marcados. De nuevo se aprecia en esta contradicción que el hecho de que el IAS violeta que contiene el arco 35241–>54321 sea retorcido juega un papel clave en la emergencia de esta contradicción. El resultado se muestra en la imagen siguiente:

ignacio reneses 1-twisted opción 2

En conclusión si marcamos el IAS de su identidad por el generador de orden 2 y su opuesto por el generador de orden 4, entonces necesariamente el arco azul tiene que ser marcado por el generador de orden 4.  Pasamos a explorar las consecuencias de realizar esto.

Si marcamos el IAS azul claro indicado por el generador de orden 4, entonces se fuerza al IAS de verde claro que contiene el arco 32415–>34251 a ser marcado por el generador de orden 2. Si no aparecería un ciclo de orden 4. Si marcamos este IAS verde claro por el generador 2, fuerza al IAS rojo que contiene el arco 35214–>32541 a activarse por el generador de orden 4.

Al activarse este IAS de color rojo de esta manera, se genera un ciclo de orden 4, el que contiene los arcos 34512–>41352–>15432–>53142, la contradicción esperada.

Como se ve todo en todo el proceso no ha habido opción, son consecuencias necesarias. Queda demostrado que al marcar el IAS de la identidad por el generador 2 y su opuesto por el 4 (o viceversa) no se puede obtener un RH.

En la imagen siguiente se presenta gráficamente todo lo comentado:

ignacio reneses s5 opcion 2

En este último caso también (aunque se ve menos claramente en el dibujo, se podría modificar el dibujo para que se apreciase esto) el hecho de tener algunos IASes la propiedad de ser retorcidos o twisted es condición necesaria para que se genera la contradicción.

Pasamos a estudiar la última opción que entendemos tiene que tener una demostración más complicada.

Nota al margen. ¿ Están siendo más cortas estas demostraciones que las que se obtienen al activar el ciclo de la identidad de todas las maneras posibles ?. Posiblemente no, o no mucho más. Pero creo que si son más ilustrativas del papel que juega la propiedad de retorcimiento para que surjan las contradicciones. Fin de nota al margen.

3. Opción 3.

En este caso  marcamos inicialmente el IAS de la identidad y su puesto en la circunferencia por el generador 4. La situación aparece en la imagen siguiente.

(Continuará próximamente…)

Actualización 29 de agosto de 2016.

Ya tengo perfilado el método (en realidad nada nuevo, es el lógico, pero con una vuelta de tuerca) tal que si el caso es twisted y no tiene RHs en alguno o en ninguno de los vértices finales posibles, entonces puede generar la demostración de que no los tiene de manera sucinta (utilizando ordenador: de momento las pruebas no son del todo rápidas, pero si evitan una búsqueda exponencial, lo cual ya es bastante notable). Funciona tanto para los casos 1-twisted como para los 2-twisted, de momento aplicado a casos de S5. Y discrimina los casos smooth como el Sigma Tau del que hemos hablado en esta misma entrada. Quiero aplicarlo a casos de S6, lo cual llevará un cierto tiempo.

Dónde me encuentro ahora no tengo acceso fácil a Internet. Tampoco tengo las herramientas habituales que necesitaría para publicar imágenes. Además hay que hacer más comprobaciones y aunque lo que tenía en la cabeza ya está aterrizando quedan todavía algunos interrogantes sobre la propiedad twisted / smooth. Cuando tenga todo esto más claro igual se le puede dar una vuelta de tuerca más. Daremos detalles en unos días.

 Fin de actualización.

Actualización 31 de agosto de 2016.

Antes publicar todos los detalles, cosa que haremos en un par de días, queríamos adelantar un resumen de la idea general (que es aplicable tanto a los casos twisted como a los entangled). Para ello introducimos dos conceptos: el primero es una distribución que se puede asociar a cada caso, que podemos llamar distirbución de RHs y el segundo es una media, que también se puede asociar a cada caso, de IASes de un generador que se activan por cada IAS del otro generador que hayamos activado. Nos abstraemos de momento del hecho de que al se puedan marcar diferentes vértices finales posibles. Luego comentaremos sobre como afecta esto.

Distribución: cuando hemos activado todos los IASes de un caso, por u generador o por otro, podemos contar el número de generadores activados de cada tipo y obtenemos 2 cifras. La distribución asocia a cada una de estas dos cifras bien un sí (si con esta activación se obtienen recorridos hamiltonianos) bien un no (si no se obtienen), bien un número, que indica el número de RHs diferentes que se pueden obtener con esta activación. Un ejemplo de distribución para un caso hipotético de 10 IASes de C2C4:

(0 IASes activados de C4, 10 de c2)——-0 RHs,

(1, 9)————————————-0 RHs,

(2,8)————————————-0 RHs

(3,7)————————————-1 RH

(4,6)————————————2 RHs

(5,5)————————————4 RHs,

(6,4)————————————2 RHS

(7,3)————————————0 RHs

(8, 2)———————————–0 RHs

(9,1)————————————0 RHs

(10,0)———————————-0 RHs.

Repetimos que el ejemplo es puramente hipotético.

Media. Cuando analizamos un caso de C2C4, si el IAS es por ejemplo de orden 5, si buscamos un ciclo y marcamos el IAS de la identidad inicial por el generador de orden 2 se activaran, como consecuencias, 5 IASes por el generador de orden 4. A medida que vamos activando IASes, esta cantidad de IASes que se activan por un generador al marcar un IAS de otro generador puede ir variando. Y tomando nota de todo esto, al final podríamos hacer una media del numero de IASes que se activan de un generador al marcar uno del otro tipo.

Aplicación de los dos conceptos indicados.

Hay casos en los que por sus propiedades estructurales, la media que se obtiene es baja y permiten recorrer todos los pares de cifras de la distribución. Pero hay otros casos, tales que sus propiedades estructurales (como por ejemplo el ser 1-twisted o 2-twisted, o el ser entangled) hacen que la media sea tan elevada que los saltos en la distribución hacen que, independientemente de como se activen los IASes, se salte de un extremo de la distribución al siguiente, extremos en los que no pueden existir RHs.

Creo que dentro de este esquema se pueden encajar varios de los resultados previos a nuestra patente (el de Rankin casi seguro; el de Milnor tengo mis dudas), así como varios de los que hemos aportado nosotros (no tengo muy claro si los casos cycle-entangled se pueden encajar dentro de este esquema). Cuando demos detalles se verá claramente porqué en los casos twisted la media es elevada. Todo es más complejo que lo aquí descrito (pues también entra en juego el número de IASes: a igualdad de media elevada, si el número de IASes del caso es también elevado es posible que incluso saltos elevados a lo largo de la distribución no impidan que haya RHs. Realemente los casos de S5 que hemos analizado no son los más representativos. Y también hay que tener en cuenta que al activar vértices finales posibles diferentes, se activan inicialmente un número diferente de IASes por los dos generadores. El esquema presentado explica concretamente que haya casos sin ciclos hamiltonianos pero que sí tengan caminos. Y posiblemente haya otras complicaciones que iremos viendo.

¿ Podemos derivar de este esquema una teoría general que nos permita dado un caso determinar rápidamente (con unas comprobaciones mínimas) si el caso tendrá RHs en los diferentes VFs ? No lo descarto. El método sobre el que hablamos en la actualización anterior, que es puramente algorítmico,  lo que hace es tener en cuenta que en los casos 1-twisted y 2-twisted la media es elevada, y teniendo en cuenta esto permite acelerar la prueba algorítmica de que no tiene RHs, seleccionando de manera “inteligente” pero automatizable, para su activación desde los primeros paso, los IASes que suben la media para llegar lo antes posible a la solución, es decir la determinación si el caso, para el VF dado, tiene RHs o no. De la misma manera se podría retrasar. Y el algoritmo tal y como lo tenemos programado ahora mismo, hace una selección no inteligente y por lo tanto hace computaciones que se podrían evitar. Este nuevo método algorítmico (el que comentamos en la última actualización), que como decíamos no aporta nada realmente nuevo, es ya un avance significativo con respecto a lo que teníamos pues ahorra bastante tiempo y uso de memoria.

Con respecto al tema de la segunda solicitud de patente, tras todo lo comentado en la presente actualización, se justifica con mayor razón su concesión, que está pendiente, pues en todo lo descrito anteriormente  lo que hemos hecho es utilizar dos de las propiedades estructurales que se pueden dar en los casos (la propiedad de retorcimiento y la propiedad de entrelazado) para resolver de manera más eficiente que la que existe en el estado del arte actual el problema de recorridos hamiltonianos en digrafos de Cayley bigenerados. Esto es precisamente lo que intentamos proteger en dos de las reclamaciones (las correspondientes a la propiedad de entrelazado y a la propiedad de retorcimiento). Las otras reclamaciones hacen los mismo con respecto a otras propiedades estructurales. Tras cuatro años de tramitación, no me explico todavía cuales on las dudas de la USPTO al respecto…

Fin de actualización.

Actualización 2 de septiembre de 2016.

Ya estamos instalados en nuestro entorno habitual de publicación. Esperamos poder terminar esta entrada hoy mismo.

Antes, en esta actualización queremos comentar que la redacción de la actualización anterior es algo confusa y aclarar algunos puntos.

Distribución. Obviamente, aunque tal distribución exista, es desconocida salvo algunos puntos que si se pueden calcular de manera rápida sobre todo en los extremos. Por ejemplo se sab que si activamos todos los IASes por el generador de orden 2, no podrá haber recorridos hamiltonianos. Y lo mismo si los activamos por el generador de orden 4. Un paso importante es determinar dentro del rango de pares, la frontera entre aquellos pares que se sabe que no pueden tener recorridos hamiltonianos y aquellos pares o puntos de la distribución en los que el tema queda como posibilidad indeterminada. Y obviamente habrá casos, aquellos que no tienen recorridos hamiltonianos, en los que ningún par o punto de la distribución tendrá este tipo de recorridos. Es claro que dado un par puede haber diferentes activaciones de IASes que se correspondan con este par y cada activación se corresponderá con un recorrido hamiltoniano diferente. Por lo tanto a cada para le puede corresponder una cantidad de recorridos hamiltonianos. Una pregunta interesante, creo, es hasta que punto podemos considerar que la distribución es continua entre extremo y extremo.

Media. Este concepto se puede comprender mejor como un proceso que empieza con el caso en cuestión sin haber marcado ningún IAS. A lo largo del proceso se van marcando IASes, siempre controlando que no se generen ciclos o caminos que contengan menos vértices que todos los del dígrafo (es decir controlando que no sean ciclos caminos no hamiltonianos). Al final del proceso, en el que se han activado todos los IASes, se ha llegado a un punto de la distribución. Si vamos anotando a lo largo del proceso el número de IASes que se marcan de un generador por cada otro generador, podemos calcular esta media.  Entiendo que esta media es invariante al camino que siga el proceso (tema pendiente de averiguar / demostrar). Pero igual el concepto de media es prescindible… De momento para entendernos vamos a seguir hablando de media pero tenga el lector en cuenta que el concepto se puede modificar o caer.

Lo que queríamos dejar claro en la actualización anterior, la clave de todo es que en algunos casos twisted (como los que estamos analizando)  y entangled se puede demostrar o ver claramente, que debido a que en cada marcado de IAS por un generador se marcan muchos del otro, al final del proceso tenemos que llegar necesariamente a uno de los pares o puntos extremos de la distribución, de aquellos sobre los que es fácil conocer de antemano que no pueden tener recorridos hamiltonianos.

Otros puntos importantes que está pendiente de investigación son:

–primero, si para un grado de retorcimiento (por ejemplo 1-twisted), la media obtenida es siempre constante dado un tamaño de IAS, independientemente del número de vértices del dígrafo. Pensamos que así es  y por ello al aumentar el número de vértices, siendo el mismo el grado de retorcimiento, pueden variar los resultados en cuanto a propiedades de hamiltonicidad.

–segundo, si las medias varian para los diferentes grados de retorcimiento. Por ejemplo si los casos 2-twisted tienen una media inferior a los casos 1-twisted. También pensamos que así es. Si se confirmase hay como una especie de efecto gravitatorio: a mayor distancia, a mayor grado de retorcimiento, menores efectos con respecto a la propiedad de hamiltonicidad, hasta el punto de que a partir de un cierto grado (2-twisted) y un cierto tamaño de dígrafo, el efecto es nulo.

Fin de actualización.

Actualización 3 de septiembre de 2016.

Por  lo comentado en los anteriores puntos le habrá quedado claro al lector que la existencia de recorridos hamiltonianos en un caso twisted depende de al menos los siguientes parámetros:

–nº de IASes del caso.

–Tamaño del IAS.

–Vértice final posible elegido.

–Grado de retorcimiento (esto está por ver).

También de que en los casos C2C4 se da un fenómeno inverso a los casos C2C3.

Si bien en estos últimos casos, cuanto mayor sea el número de IASes, cuantos menos IASes contenga el entorno de la identidad en relación con este número total de IASes, menos podemos esperar que tenga recorridos hamiltonianos el caso.

Al contrario, en los casos C2C4, cuanto mayor es el número de IASes en relación al entorno de la identidad, mayores son las expectativas de que el caso contenga recorridos hamiltonianos.

Fin de actualización.

¿ Que diferencia un caso liso (smooth) de uno retorcido (twisted) ?

julio 20, 2016

Disclaimer: entrada en construcción. Terminará cuando se elimine esta advertencia.

En esta entrada intentamos contestar a la pregunta del título. Realmente es una entrada de investigación pues todavía no tengo claro si lo  que proponemos va a funcionar.

Para establecer la diferencia entre los dos casos, establecemos el siguiente procedimiento:

–numeramos todos los arcos de cada IAS con un mismo número. Por ejemplo el IAS de la identidad con el número 1, el DAS de la identidad con el número 2 etc….

–de esta manera cada ciclo de orden n se podrá describir con n números, de los  que hemos utilizado para numerar los IASes.

–hacemos  una tabla que cruce todos los ciclos de un mismo orden. Por ejemplo en los casos 2-4 generados, una tabla que cruce todos los ciclos de orden 4.

–Ponemos una cruz en los cruces de un ciclo consigo mismo, pues estos cruces no nos interesan. En las otras casillas anotamos los números que los dos ciclos que se cruzan tienen en común. En las casillas en las que los ciclos correspondientes no tienen secuencias o subsecuencias en común anotamos el número cero. Por ello evitaremos utilizar éste número a la hora de numerar todos los IASes.

Afirmamos (y ya veremos si finalmente esto es así o no) que los casos twisted y los casos smooth se pueden diferenciar analizando la tabla. Todavía no puedo expresar claramente la propiedad, pero en las tablas de casos smooth, no se van a repetir la secuencia de las casillas (total o parte de ella) más de dos veces (es decir no van a aparecer secuencias o subsecuencias iguales en más de 2 casillas).

Actualización 17 y 18 de agosto de 2016.

Confirmamos que el método indicado no distingue los casos smooth de los twisted. Es decir no se repiten más de dos veces. Es posible que otras propiedades de la tabla sí permitan esto.

Pero hemos dibujado algunos casos adicionales (todos los de S5 que no tienen recorridos hamiltonianos en ninguno de los vértices finales posibles y el caso Sigma Tau, que si los tiene) dónde se ve claramente la diferencia (entre los twisted y el Sigma Tau). Se confirma que todos los casos de S5 sin RHs en ninguno de los vértices finales posibles son twisted. Como se verá cuando vaya publicando los dibujos el resultado es bastante sorprendente ya que todos los de IAS5 son twisted exactamente de la  misma manera y todos los de IAS 6 lo mismo, diferente de la de los de IAS5. Cuando he visto que esto pasaba me ha sorprendido bastante y he pensado que igual Ruskey y Effler estaban en el error al decir que no son isomorfos, pero realmente no los he dibujado completos, así que es posible  que exista alguna diferencia. Lo dejo como duda. Falta por determinar el mecanismo, relacionado con la propiedad de ser twisted que hace que no puedan tener RHs en ninguno de los VFs. Dicho de otra manera, falta una demostración más corta que la que ya tenemos, que implica aplicar el algoritmo. Ya tengo algún avance sobre esto también…

Antes de publicar los dibujos quiero terminar de dibujar (no completos, claro) los casos de S6. El caso es que hay poca casuística de casos C2C4 smooth y espero que los dos que hay de S6 no entangled proporcionen esta casuística.  Ya puedo adelantar que ya tengo uno bastante avanzado (no recuerdo ahora si es el de IAS 5 o el de IAS6), y lo relevante de momento es que no es twisted de la misma manera que lo son los de IAS 5 o 6 de S5. Pero estas no son las únicas maneras posibles, podría ser twisted de otra manera.

Fin de actualización.

Actualización 24 de agosto de 2016.

(more…)

Caso de S5 2-4 generado retorcido o twisted.

junio 21, 2016

Actualización 18 de julio: he detectado un error en el punto 1. En breve lo modificaré, incluyendo seguramente las imágenes (ahora tengo el ordenador con algún problema en el modulo de electricidad). Fin de actualización.

Actualización 20 de julio. ¡¡ Corregido !!. Esta corrección nos ha obligado a borrar parte del texto que habíamos escrito, redundante. Y he cambiado la imagen. Fin de actualización.

En la entrada anterior hemos analizado un caso de S5 2-4 generado entrelazado o entangled que no sólo tenía RHs en dos de los VFs posibles (y eran 7) y hemos determinado el mecanismo que hace que los que no tienen RH no puedan tenerlo y lo que es más importante hemos demostrado que el que este mecanismo sea posible es debido a que el caso es entrelazado. Y también hemos comentado que este mecanismo no podría ser el motivo de que los casos twisted no tengan recorridos hamiltonianos.

¿ Podemos encontrar un mecanismo similar para los casos twisted, mecanismo en el que se vea claramente que puede intervenir por ser twisted ? Esto es lo que vamos a intentar contestar en esta entrada.

Para ello en esta entrada analizamos dos casos. Aunque los dos casos son twisted lo son de manera diferente: el primer caso es más cerrado, los IASes que lo hacen twisted están más cercanos el uno del otro, que en el segundo. Esto tiene consecuencias: si bien, como veremos, en los casos twisted más cerrados el método de activar el ciclo de C4 de todas las maneras posibles y concluir que todas llevan a contradicción funciona de manera bastante directa en los otros casos, los más abiertos, no parece ser así (es lo que queremos determinar).

En los casos twisted del segundo tipo, más abiertos, al aplicar el algoritmo de la patente, ocurre lo que explicamos a continuación. Primero una muestra gráfica, ya que lo hemos dibujado completamente. Sus parámetros son S5, G5, C2C4, IAS5, Circunferencia 6. Figura en la imagen siguiente (de nuevo bastante confusa, pido disculpas por ello):

s5 c2 c2 ias 6 twisted para blog

Sus VFs (excluimos los que sabemos, por el teorema de Rankin, que no pueden tener RHs). Son 23541 y 54123. Al aplicar el algoritmo que hemos implementado (el reflejado en la primera patente) determina que no tiene RHs en ninguno de estos dos vértices, pero dato importante, necesita respectivamente 27 opcions (y 11 llamadas de backtraking) y 42 opciones (y 18 llamadas de backtraking).

Creo relevante señalar a este respecto que en los otros dos casos en los que hemos encontrado demostraciones cortas o más directas de que no podían existir RHs (todos los 2-3 generados; algunos de los 2-4 generados entangled), el algoritmo identificaba que no existían sin opciones…

Otra de las preguntas que nos hacemos en esta entrada es si, en estos casos, hay una demostración más directa, más rápida, más económica, más corta, más comprensible, de que no tienen RHs en los VFs o sólo podemos determinar esto ejecutando todas estas llamadas de backtraking.

En cualquier caso queda claro lo que buscamos: identificar un mecanismo que esté relacionado con la propiedad de ser twisted y que  haga imposible la existencia de un RH en todos o algunos de los VFs. Y es muy posible que el hecho de que los ciclos de orden 4 se deban de activar de una determinada manera (que haya restricciones al respecto) forme parte del mecanismo. Y esto explica también por que el algoritmo necesita tanto backtraking en estos casos: esta propiedad no está incorporada en la implementación.

1.Twisted cerrados. A estos efectos comenzamos analizando un caso twisted cerrado que como veremos admite una demostración de que no contiene RHs sin necesidad de utilizar el algoritmo. Es aplicando aplicando el método que ya describíamos en la descripción de la patente, que consiste en activar de todas las maneras posibles el ciclo de C4 que sale de la identidad.

Es un caso 2-4 generado e IAS de orden 6 y circunferencia de orden 3 (¿ 6 IASes ?), en el que se detectaba que no podía tener recorridos hamiltonianos de manera más rápida que aplicando el algoritmo.

En un segundo punto aplicaremos este método (que ya hemos comentado que no nos satisface del todo, estamos convencidos de que debe de haber un método todavía más directo) al caso abierto, el que ha motivado la entrada para ver si funciona también. Por cierto, en breve aplicaré a este caso el algoritmo para ver tras cuantas opciones determina que no contiene RHs.  

Actualización 27 de junio de 2016. Ya lo he aplicado: salvo en el VF 31425, en el que determina que no hay VF tras 3 opciones y una llamada a backtraking en los otros lo encuentra de manera directa tras entre 1 opción (en el otro ciclo potencial y 3 op). De ciclo a ciclo el número de opciones es 3, 3,2,2,2,1. Fin de actualización.  

El caso aparece en la imagen siguiente (no está completo).

caso c2 c4 circ 3 twisted

El método es como sigue:

–el ciclo de orden 4 que sale de la identidad se puede activar de 16 maneras posibles diferentes. Algunas son equivalentes.

primera manera de activarlo: todos inactivados. Como se puede ver se genera contradicción (aparecerían necesariamente ciclos de orden 2). Esto es independiente de la propiedad de twistedness. Esta clase de equivalencia contiene solo un representante.

segunda manera de activarlo: sólo 1 activado (y por lo tanto los otros tres inactivados). En esta clase de equivalencia hay 4 representantes o maneras posibles de activar.  Y es fácil ver que se genera también necesariamente contradicción, de manera independiente a la propiedad de twistedness.

tercera manera de activarlo: tres arcos activados, también con cuatro representantes.  En la imagen siguiente (que representa el último digrafo mostrado anteriormente pero de manera más clara, sin confusión de colores) mostramos la situación cuando se activa el IAS de la identidad tomando como VF la permutación 13254. Esto hace que el ciclo de orden 4 que sale de la identidad se active por dos arcos. En esta situación todavía no se genera ninguna contradicción.

c2c4 ias 6 nuevo para blog

En la imagen se aprecia claramente que al ser twisted, el IAS marcado con A1 conecta con el IAS marcado con A2 y con el marcado como A3 y que también A2 y A3 están conectados. Lo  mismo sucede con los IASes marcados B1, B2 y B3 o los IASes marcados C1,C2 y C3. Y falta un último “cluster” o grupo de IASes que no hemos dibujado de momento para no añadir más confusión. En un caso smooth estas conexiones entre estos IASes no existirían. Es importante que el lector recuerde esto ya que estas conexiones que sólo existen por ser twisted son clave, como veremos.  

En la imagen siguiente vemos  que pasa al activar el tercer arco del ciclo de orden 4. Nótese que si activasemos estos tres arcos del ciclo de orden 4 directamente, llegaríamos a la misma situación que aparece en la imagen.

cntradiccion 200

El marcar el tercer arco tiene consecuencias:

–aparece un posible ciclo de orden 4 (marcado en la figura cómo Contradicción 1) en el que hay tres arcos ya marcados, posible ciclo que hay que corregir.

–aparece otro posible ciclo de orden 4, marcado como contradicción 2.

Si dibujamos el IAS rojo, y extraemos las correspondientes consecuencias aparece otro ciclo de orden 4, en este caso ya inevitable. Se concluye que no puede existir un RH si marcamos los 3 arcos del ciclo de orden 4 de la identidad.

Nota. Según recuerdo el primer digrafo de este caso, el que realizamos hace años y publicamos hace un par de días un poco más arriba en esta misma entrada, contiene exactamente el numero de IASes necesario para demostrar que surge contradicción en cualquiera de las activaciones posibles del ciclo de orden 4 de la identidad. En este caso contiene casi tantos IASes como el total de IASes del digrafo, lo cual no parece una gran ventaja: pero ¿ y si en los casos twisted, a medida que n crece el la contradicción se puede seguir encontrando activando un número de IASes limitado del entorno de la identidad ? . En este caso nadie diría que el método no es ventajoso…Por eso me interesa determinar si también en los casos twisted pero más abiertos, el test es local.

Fin de nota.

De la misma manera que hemos demostrado con todo detalle que emerge contradicción al marcar los 3 arcos del ciclo de orden 4 de la identidad, se podría demostrar que pasa lo mismo con cualquier otra activación de tres arcos de este ciclo (y de cualquier otro), así como al activar sólo dos arcos opuestos en el ciclo de orden 4.

Y es fácil ver de que la causa de todo esto es que el caso sea twisted.

Continuará…

Nota.

Aprovecho para hacer un apunte rápido sobre una pregunta que hicimos en una entrada anterior, a la que asociamos una figura que volvemos a publicar:

smoothes twisted

Cuando construimos el entorno de la identidad puede, en teoría suceder dos cosas: quedan todos los vértices del entorno saturados (es decir de todos ellos entran y salen 2 arcos) o no quedan saturados. En el caso de que queden saturados es fácil demostrar que casos como el de la figura no pueden suceder: supongamos que un IAS de la circunferencia que se encuentre fuera del entorno de la identidad enlaza con un IAS que se encuentre al otro lado del entorno y que en su mismo lado podemos añadir más IASes a la circunferencia. Entonces por simetria debería de entrar en el entorno de la identidad un arco de alguno de estos IASes, lo cual es contradictorio con el hecho de que está saturado. Por lo tanto cuando el entorno de la identidad queda saturado podemos afirmar que el caso será smooth.

Queda por determinar:

–si es posible construir el entorno de la identidad sin que quede saturado;

–si esto fuese posible, que formas posibles pueden adoptar estos casos;

–y si estas formas tienen consecuencias de cara al problema  de recorridos hamiltonianos.

Haremos una entrada específica para comentar sobre todo esto en detalle.

Fin de nota.

2. Twisted más abierto (realizada a partir de 27 de julio de 2016).

Ya hemos comentado que si bien en el caso twisted más cerrado estudiado en el punto 1, cuando se le aplica el algoritmo, se puede determinar que no tiene RHs en pocas opciones (entre 3 y 1) y con pocas llamadas a backtraking (en general ninguna, lo determina directamente) en el caso twisted más abierto que estamos estudiando ahora, cuando se le aplica el algoritmo, tarda bastante más en determinar que no tiene RHs: más de 20 opciones y más de 11 llamadas a backtraking.

Luego es mucho más interesante encontrar una demostración lo más directa posible en estos casos. Diría que la vía de ataque tiene que implicar el IAS de la identidad y el IAS opuesto al de la identidad en la circunferencia.

A continuación dos imágenes que muestran el caso que estudiamos. La primera ya está publicada en esta misma entrada. La segunda es un nuevo dibujo que realmente tampoco mejora mucho en términos de claridad pero al  menos nos da otra perspectiva.

s5 c2 c2 ias 6 twisted para blog

c2c4 IAS5 para blog 22

 Ver entrada con mismo título, nº2.