Diferencia entre un caso twisted y otro smooth (2).

1.No tengo demasiado tiempo ahora para desarrollar las entradas anteriores sobre este mismo tema plenamente. Vamos a describir rápidamente la diferencia más importante, a efectos prácticos de un caso smooth (S5, sigma-tau) y otro twisted (S5, 2-twisted). Soy consciente de que el sigma  tau es C2C5 pero como se verá esto no es relevante (los escépticos al respecto tendrán que esperar a que se analice un caso C2C5 o C2C6 twisted…).

Cuando  hemos marcado el IAS de la identidad (VF ciclo) y su opuesto por el generador de orden 4, y alguno intermedio que maximice el número de IASes marcados (hay diferencias y esto se puede hacer para los dos casos) se trata de aplicar el siguiente método:

Paso 1. Hacer una lista de los ciclos que tengan al menos 2 arcos marcados.

Paso 2. Dentro de esta lista identificar que IASes tienen presentes arcos en varios de los ciclos. Si marcamos estos en un digrafo de C2C4, ya tendremos que marcar el otro arco de todos estos ciclos por el generador de orden 2 para evitar obtener ciclos de C4. Así maximizamos el nº de IASes marcados cuando tengamos que extraer las consecuencias. Puede haber varios IASes que cumplan con esta condición.  Supongamos (hipotéticamente) por ejemplo el IAS nº 2 y el IAS nº 5 y el IAS nº 7.

Paso 3. identificar algún IAS tal que al ser marcado por C2 obligue a estos tres IASes a ser marcados por el generador de orden 4. De esta manera maximizamos todavía más el número de IASes que serán marcados en cada opción, al extraer sus consecuencias. Supongamos que el IAS 9 cumple esta condición.

Entonces, elegimos la opción de marcar el IAS 9 por el generador de orden 2, esto tiene como consecuencias que los IASes 2,5 y 7 tienen que ser marcados por el generador de orden 4 y a su vez los arcos que completan estos tres ciclos tendrán que ser marcados por el generados de orden 2.

Lo importante es que al  marcar uno solo IAS obtenemos, como consecuencia muchos otros IASes marcados (llamemos a esto efecto multiplicador, por ponerle algún nombre), algunos por el generador de orden 2 y otros por el de orden 4, pero en una determinada proporción desequilibrada. Esto  se puede repetir de manera iterativa de tal manera que al final le media de la que hemos hablado en las anteriores entradas sale elevada.

La diferencia entre un caso smooth y uno  twisted es que los casos smooth, en el paso 2 no vamos a encontrar un IAS que tenga varios arcos en diferentes ciclos de los que ya tienen marcados . Por lo tanto no se puede obtener este efecto multiplicador y la media saldrá baja. Y en los casos 1-twisted y 2-twisted si se encontrarán y por lo tanto se dará el efecto multiplicador

Veamos esto con detalle (hemos realizado exactamente las mismas operaciones en los dos casos antes de realizar la lista de ciclos).

Lista de ciclos del caso 2-twisted (los datos no son hipotéticos, son reales; los números indican el número de IAS (los IASes se han numerado de manera arbitraria, un número es equivalente a un color); los signos más o menos indican si el IAS correspondiente está marcado o no; la lista incluye solo a aquellos ciclos que tienen 2 o más arcos marcados).

Una imagen del caso con los IASes marcados tal y como se han indicado. Es en esta imagen en la que  nos hemos basado para realizar las tablas siguientes. Por lo  tanto la numeración se corresponde con al del texto. El nº del IAS aparece al lado de los arcos. El IAS amarillo, el nº 18 que rodea el digrafo es el que se marca como tercera opción, por el generador de orden 2, tras marcar el IAS de la identidad y su opuesto dentro de la circunferencia  por el generador de orden 4:

s5-c2c4-twisted-22

Tabla 1.

1+,6-,7+,8-

1+,8-,10+,11-

1+,11-,12+,2-

1+,2-,3+,4-

1+,4-,5+,6-

23+,7+,6-,13-

3+,23+,9-,4-

Para simplificar hagamos ahora una lista de los IASes que no están marcados en cada ciclo.

Tabla 2 derivada de la tabla 1 simplificando.

6,8

8,11

11,2

2,4

4,6

6,13

9,4

Vemos que el IAS 6 tiene arcos en 3 ciclos, al igual que el 4. El 8,11 y 2 tienen arcos en dos ciclos. Por lo tanto 6,4,8,11 y 2 son los IASes de nuestro interés.

El siguiente paso, el Paso 3, sería identificar IASes que estén unidos al 6 y al 4 y posiblemente a alguno de los otros 3. Si existe, se selecciona el que maximice el numero de IASes. En el caso en concreto hay varias posibilidades: el IAS nº 24 por ejemplo conecta con el 6 y con el 11 y con otros cuatro, ninguno de ellos marcado; el IAS 13 conecta con el 2, con el 17 y con otros 4 uno de ellos ya marcado etc…. Habrá que seleccionar la opción que conecte con más de ellos y si es posible que tengan presentes más arcos en diferentes IASes.

El lector podrá comprobar como el que suceda este fenómeno depende de la propiedad de ser retorcido o twisted.

Lista de ciclos para el caso Sigma-Tau (caso real, nos ceñimos a la tabla 2; se han obtenido tras marcar el IAS de la identidad y su opuesto por el generador de orden 4, y marcando como tercera opción un IAS seleccionándolo para que maximizase el nº de IASes marcados).

Por cierto, tras consultar en mi base de datos, confirmo que este caso Sigma-Tau tiene recorridos hamiltonianos en todos los vértices finales posibles.

La imagen (idem anterior):

s5-sigma-tau-22

Tabla 2 (ninguno de los IASes que aparecen está marcado).

5,6,24

10,11,2

8,28,16

12,27,20

No hay ninguno repetido. Es importante señalar que en realidad si hay varios ciclos tal que un mismo IAS pasa por ellos pero en todos ellos hay un arco de orden 4 marcado como que no se debe de marcar (es decir su correspondiente IAS está ya marcado por el generador de orden 2) y por lo tanto este ciclo no se puede compltar, que es lo que nos preocupa. Estos ciclos con una arco marcado como que no se debe de marcar no cuentan.

Como había otro IAS candidato a la tercera opción hemos repetido el proceso para varios IASes diferentes, para todos los candidatos y estas son las tablas de tipo 2 que se obtienen:

2,4,5

10,24,9

20, 19, 8

12,16, 25

De nuevo, ninguno repetido, como puede comprobar el lector. En el caso Sigma-Tau, como en todos los smooth, no hay efecto multiplicador y por lo tanto no existe el mismo obstáculo que en los twisted a la hora de que pueda haber recorridos hamiltonianos.

De la misma manera, seguramente en los smooth, seguramente no será posible encontrar un IAS en el paso 3 que sea más ventajoso que el resto. Cada opción en los casos smooth es mucho más independiente que en los casos twisted.

2. Lo anterior obviamente no es una demostración de que el caso 2-twisted no puede tener recorridos hamiltonianos. Los parámetros del caso analizado 2-twisted son S5, C2C4, IAS5 y circunferencia 6. como el IAS es de orden 5, tiene 24 IASes y por lo tanto la distribución recorre desde 0 IASes activados por el generador de orden 2 y 24 activados por el de orden 4, es decir (0,24) al otro extremo (24,0). Interesa determinar un método rápido que nos permita identificar las fronteras, es decir entre que intervalos de pares [(0,24); (x,y)] y [(w,z); (24,0)] sabemos que no pueden existir RHs. Ahora mismo, para este caso en concreto no me parece evidente determinar esto salvo los extremos extremos, pero igual es que es última hora del día…

Los parámetros del caso Sigma-Tau son S5, C2C5, IAS4 y circunferencia 6. Tiene por lo tanto 30 IASes y el rango de la distribución recorre (30,0) a (0,30).  Idem anterior.

Actualización día siguiente.

El método más directo para determinar acotar la frontera es el siguiente (vale para cualquier caso). Nos conformamos con acotar la frontera.  Pienso que será suficiente para lo que nos interesa.

Frontera para el generador de orden 2.

El  método (que hoy me parece obvio) es el siguiente:

–Obtenemos primero el nº de ciclos de orden 4 que tiene el caso. Para el 2-twisted hay 120/4 = 30.

–Si queremos que no aparezca un ciclo de estos con todos los arcos marcados, tiene que haber en cada uno de ellos al menos un arco desactivado por el generador de orden 4. Y por lo tanto el IAS de ese arco tendrá que ser activado por el generador de orden 2. Por lo tanto tiene que haber al menos 30 arcos marcados por el generador 2.

–Como el IAS es de orden 5, cada IAS tiene 5 arcos del generador 2. Para obtener la cota dividimos el número obtenido anteriormente, 30, que indica el número de arcos que deberán de ser activados por el generador 2, por el número de arcos del generador 2 que contanga un IAS, que es equivalente al orden del IAS, en este caso 5. Es decir 30/5 = 6. La cifra obtenida, 6 en este caso nos da el número de IASes mínimo que tendremos que marcar para que no haya un ciclo de orden 4.

¿ Podemos concluir que tiene que haber al menos 6 IASes marcados por el generador 2 para que pueda haber recorridos hamiltonianos  y que por lo tanto (6,18) es la frontera para el generador de orden 2 ?. Es decir que menos de 6 IASes marcados por el generador 2, no puede haber recorridos hamiltonianos, y más de 6 IASes sí puede haberlos.

No lo tengo claro: ¿ no puede haber algún ciclo que contenga arcos de dos de los 6 IASes diferentes y por lo tanto aunque marquemos 6 IAses todavía habría ciclos de orden 4 sin ningún arco marcado como que no puede ser activado ? . Hagamos la pregunta traducida a un lenguaje experimental: en el caso 2-twisted ¿ podemos seleccionar entre los 24 IASes 6 de ellos tal que al activarlos por el generador de orden 2 todos los ciclos de orden 4 tengan un arco de orden 4 desactivado ?.

¿ Y en el caso Sigma-Tau ?. Apliquemos este método al caso Sigma-Tau para ver cuantos IASes tendríamos que marcar. 120/5= 24 ciclos de orden 5. Hay que marcar 24 arcos por el generador de orden 2. El IAS es de orden 4 y por lo tanto cada IAS tiene 4 arcos de orden 2. 24/4=6. También en este caso hay que marcar 6 IASes entre 30. Aquí tenemos más espacio, lo cual ya es un dato….

Tras estudiar este tema para el caso Sigma Tau (de manera no sistemática, no he agotado todas las posibilidades, pero no hay duda) se puede concluir que para este caso no existen 6 IASes independientes entre los 30.

La segunda conclusión es que cuando no existe este número mínmo de IASes independientes, al haber repeticiones, hay que marcar más IASes que los que indica este límite teórico para que todos los ciclos de orden 4 tengan al menos un arco desactivado.

Por lo tanto este método, que se puede aplicar de manera muy rápida cuando conocemos los parámetros, nos sirve para encontrar una cota inferior de la frontera.   En algunos casos, conocer esta cota inferior será suficiente para poder demostrar que el caso en cuestión no puede contener recorridos hamiltonianos.

La fórmula para encontrar esta cota inferior es:

Cota frontera = (Orden del digrafo / orden del ciclo) / orden del IAS. 

Calculemos las dos cotas para el caso Sigma-Tau y para el 2-twisted.

Sigma-Tau: [C2(6,24);C4(15,15)]. Es decir menos o 6 IAses marcados por C2, no podría haber recorridos hamiltonianos; menos o 15 IASes marcados por C4 tampoco podría haber recorridos hamiltonianos. La situación con respecto a los pares contenidos entre estas fronteras es indeterminada.

2-Twisted: [C2(6,18); C4(12,12)]. Idem anterior. Aquí vamos a concretar: podría haber recorridos hamiltonianos con 7 IASes marcados por el generador de orden 2 y 17 IASes marcados por el generador de orden 4. Con (8,16), con (9,15), con (10,14) y con (11,13). El rango entre las cotas de las fronteras es menor que en el caso Sigma-Tau.

Los conceptos y métodos que hemos expuesto en las entradas anteriores lo que permitirían (el tema está en investigación) es demostrar que en los casos twisted, por el fenómenos de multiplicador o amplificación que la propiedad twisted provoca o permite, no son posibles activaciones “coherentes” que nos lleven al rango que está entre las cotas de las fronteras teóricas. Cualquier activación posible dentro de este rango que intente evitar ciclos no hamiltonianos, hará que acabemos en activaciones por debajo de las cotas teóricas de la frontera.

Comentar que en todas las últimas entradas no estamos teniendo en cuenta consideraciones de complejidad computacional. Pero cuando hayamos aclarado todas estas dudas estas consideraciones serán clave: encontrar test rápidos  y que utilicen poca memoria de retorcimiento.

Fin de actualización.

Terms and conditions: 1. Any commenter of this blog agrees to transfer the copy right of his comments to the blogger. 2. RSS readers and / or aggregators that captures the content of this blog (posts or comments) are forbidden. These actions will be subject to the DMCA notice-and-takedown rules and will be legally pursued by the proprietor of the blog.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s


A %d blogueros les gusta esto: