¿ Que diferencia un caso liso (smooth) de uno retorcido (twisted) ?

Disclaimer: entrada en construcción. Terminará cuando se elimine esta advertencia.

En esta entrada intentamos contestar a la pregunta del título. Realmente es una entrada de investigación pues todavía no tengo claro si lo  que proponemos va a funcionar.

Para establecer la diferencia entre los dos casos, establecemos el siguiente procedimiento:

–numeramos todos los arcos de cada IAS con un mismo número. Por ejemplo el IAS de la identidad con el número 1, el DAS de la identidad con el número 2 etc….

–de esta manera cada ciclo de orden n se podrá describir con n números, de los  que hemos utilizado para numerar los IASes.

–hacemos  una tabla que cruce todos los ciclos de un mismo orden. Por ejemplo en los casos 2-4 generados, una tabla que cruce todos los ciclos de orden 4.

–Ponemos una cruz en los cruces de un ciclo consigo mismo, pues estos cruces no nos interesan. En las otras casillas anotamos los números que los dos ciclos que se cruzan tienen en común. En las casillas en las que los ciclos correspondientes no tienen secuencias o subsecuencias en común anotamos el número cero. Por ello evitaremos utilizar éste número a la hora de numerar todos los IASes.

Afirmamos (y ya veremos si finalmente esto es así o no) que los casos twisted y los casos smooth se pueden diferenciar analizando la tabla. Todavía no puedo expresar claramente la propiedad, pero en las tablas de casos smooth, no se van a repetir la secuencia de las casillas (total o parte de ella) más de dos veces (es decir no van a aparecer secuencias o subsecuencias iguales en más de 2 casillas).

Actualización 17 y 18 de agosto de 2016.

Confirmamos que el método indicado no distingue los casos smooth de los twisted. Es decir no se repiten más de dos veces. Es posible que otras propiedades de la tabla sí permitan esto.

Pero hemos dibujado algunos casos adicionales (todos los de S5 que no tienen recorridos hamiltonianos en ninguno de los vértices finales posibles y el caso Sigma Tau, que si los tiene) dónde se ve claramente la diferencia (entre los twisted y el Sigma Tau). Se confirma que todos los casos de S5 sin RHs en ninguno de los vértices finales posibles son twisted. Como se verá cuando vaya publicando los dibujos el resultado es bastante sorprendente ya que todos los de IAS5 son twisted exactamente de la  misma manera y todos los de IAS 6 lo mismo, diferente de la de los de IAS5. Cuando he visto que esto pasaba me ha sorprendido bastante y he pensado que igual Ruskey y Effler estaban en el error al decir que no son isomorfos, pero realmente no los he dibujado completos, así que es posible  que exista alguna diferencia. Lo dejo como duda. Falta por determinar el mecanismo, relacionado con la propiedad de ser twisted que hace que no puedan tener RHs en ninguno de los VFs. Dicho de otra manera, falta una demostración más corta que la que ya tenemos, que implica aplicar el algoritmo. Ya tengo algún avance sobre esto también…

Antes de publicar los dibujos quiero terminar de dibujar (no completos, claro) los casos de S6. El caso es que hay poca casuística de casos C2C4 smooth y espero que los dos que hay de S6 no entangled proporcionen esta casuística.  Ya puedo adelantar que ya tengo uno bastante avanzado (no recuerdo ahora si es el de IAS 5 o el de IAS6), y lo relevante de momento es que no es twisted de la misma manera que lo son los de IAS 5 o 6 de S5. Pero estas no son las únicas maneras posibles, podría ser twisted de otra manera.

Fin de actualización.

Actualización 24 de agosto de 2016.

Ya hemos dibujado todos los casos del tipo C2C4 . Los publicaremos en su debido momento.

Uno de S6, uno que pusimos ya ha prueba en su momento para buscar caminos ya que Effler y Ruskey habían encontrado ciclo (s), ha resultado ser twisted según la definición más restrictiva del entorno de la identidad (entorno fijo; ver más adelante), aunque de la manera más abierta posible, con lo cual se explica que puedan RHs en algunos de los VFs posibles y en otros VFs no, aunque sean del tipo C2C4 (tenemos un ejemplo concreto de este tipo, de C2c4 de 72 vértices con ciclos en los dos Vfs posibles pero no caminos en algunos de los VFs posibles).

El otro de S6, no es twisted según la definición más restrictiva (aquella que hace del entorno un objeto de tamaño fijo, constante). Según otra definición posible, que hace del entorno variable en función del tamaño del IAS, sería twisted.

A nosotros no nos interesa una definición escolástica, sino una pragmática basada en que tenga consecuencias para el problema en cuestión. Pensamos que para ello la más adecuada es la definición del entorno fijo que es la que hemos manejado para el tema de la patente y mantenemos de momento. En este sentido este caso es realmente muy interesante. Pensamos que debe de tener recorridos hamiltonianos en todos los vértices finales posibles. Tenemos previsto ponerlo a prueba con el algoritmo, aunque no será inmediatamente sino en un plazo de un mes más o menos. Igual antes.

La situación está muy interesante para el contraste twisted / smooth. Aclararemos este tema más adelante, cuando publiquemos todos los dibujos realizados.

Con todos estos nuevos casos (en realidad no hay tantos nuevos, pues todos los de S5 se reducen a 2; hay 3 o 4 nuevos, pero suficientes) estamos intentando identificar de la manera más pura el obstáculo a la hamiltonicidad que se origina de la conexión de IASes de tipo twisted en el entorno de la identidad. O dicho de otra manera la demostración más sencilla posible, que no pase por activar de todas las maneras posibles el ciclo 4 de la identidad, método que no nos satisface plenamente como ya hemos comentado, por ser largo y por no ser de aplicación en las casos más abiertos. Estamos aplicando la técnica de activar el IAS de la identidad y su opuesto en la circunferencia.

Fin de actualización. 

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