Grupos bigenerados por una involución y un elemento de orden primo; (2,3) grupos.

Realizando búsquedas vinculadas con la anterior entrada he encontrado este muy reciente artículo (15 de marzo de 2016, publicado en Arxiv).

Título.  Generation of finite simple groups by an involution and an element of prime order

Carlisle S. H. King

Abstract.

We prove that every non-abelian finite simple group is generated by an involution and an element of prime order. 

En particular nos comentan:

As two involutions generate a dihedral group, the smallest pair of interest is (2, 3). The question of which finite simple groups are 2-3-generated has been studied extensively. All alternating groups are 2-3-generated except in a small number of cases by [26]. All but finitely many simple classical groups not equal to P Sp4p2 a q, P Sp4p3 a q are (2, 3)-generated by [22]. All simple exceptional groups except for 2B2p2 2m`1 q are (2, 3)-generated by [23]. And all but four of the sporadic simple groups are (2, 3)-generated by [36]. Nevertheless, the problem of determining exactly which finite simple groups are (2, 3)-generated, or more generally (2, p)-generated for some prime p, remains open.

In this paper, we prove:

Theorem 1. Every non-abelian finite simple group G is generated by an involution and an element of prime order.

Lo publico para acordarme.

Actualización un par de días después.

En un artículo citado en la entrada anterior nos comentan:

Finite quotients of the modular group are very abundant and almost all finite simple groups are (2,3)-groups. For the most recent results on this question see Liebeck and Shalev [IO]. It is known that any noncyclic finite simple group can be generated by an element of order 2 and one other element. In particular, the fact that all the alternating groups A,, with n 33, n # 6,7,8 are (2,3)-groups is a theorem going back to G. A. Miller [14]. The fact that all the projective special linear groups PSL(2,q) with q # 9 are (2,3)-groups is a theorem of Macbeath [12].

Fin actualización.

Actualización 13 de mayo de 2016.

a) Como hemos visto en la entrada anterior, los grupos (2,3) generados pueden ser interesantes desde el punto de vista de sus propiedades de hamiltonicidad.

Hemos visto casos (al menos uno) que sí tiene recorridos hamiltonianos y otros (varios casos) en los que no tienen en ninguno de los vértices finales posibles. Concretamente me interesan más aquellos tales que el IAS sea de orden impar,  en cuyo caso no tendrían ciclos hamiltonianos (Rankin) pero si podrían tener recorridos (salvo en los vértices finales posibles indicados por la generalización de Rankin).

En lo que sigue voy a compilar algunos artículos relevantes sobre grupos (2,3) generados. Aunque en general no se refieren al problema de recorridos  hamiltonianos, me interesa conocer en concreto que grupos son (2,3) generables. Por ejemplo, ¿ lo es para todo n, Sn ?. Ya hemos visto que si lo es An con algunas excepciones. Y me interesaría encontrar generadores en forma de permutaciones de estos grupos.

b) El artículo más citado al respecto, de 1996, es el siguiente:

Classical groups, probabilistic methods, and the (2,3)-generation problem

Sólo el abstract. No he encontrado ninguno descargable.

El principal resultado de este artículo (bastante potente y por ello es tan citado) es el siguiente:

The final result is [59, 1.4]:

Theorem 7. For G an alternating group, or a finite simple classical group not isomorphic to P Sp4(q), we have P2,3(G) → 1 as |G| → ∞.

For G = P Sp4(2a ) or P Sp4(3a ) we have P2,3(G) = 0 ; while for G = P Sp4(p a ) with p > 3 prime, we have P2,3(G) → 1 2 as p a → ∞.

As a consequence, all but finitely many classical groups (6= P Sp4(2a ), P Sp4(3a )) are (2, 3)-generated

El extracto es de este artículo de uno de los dos autores del teorema.

Y uno bastante reciente (2015) que nos aclara el estado actual de la situación:

THE (2, 3)-GENERATION OF THE SPECIAL UNITARY GROUPS OF DIMENSION 6 M.A. PELLEGRINI, M. PRANDELLI, AND M.C. TAMBURINI BELLANI

Classical groups, probabilistic methods, and the (2,3)-generation problem

–G.A. Miller, On the groups generated by two operators, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1901), 424– 426.

–M.C. Tamburini, J.S. Wilson and N. Gavioli, On the (2, 3)-generation of some classical groups I, J. Algebra 168 (1994), 353–370.

c) En relación al problema de hamiltonicidad en este tipo de casos, tenemos:

–el resultado de Milnor citado en la entrada anterior (no publicado) y aunque he visto la proposición, desconozco su alcance de momento.

–el artículo citado en la entrada anterior.

On the structure of Hamiltonian cycles in Cayley graphs of finite quotients of the modular group .

En este artículo aparecen generadores para algunos casos:

The group S4 with generators s=(14) and t=(123)

The group of order 42 with generators s = (24)(35)(67) and t = (123)(467)

The group of order 54 with generators s = (18)(27)(36)(45) and t = (126)(345)(789)

The group AS of order 60 with generators s = (12)(34) and t = (135)

The group C3 x S4 of order 72 with generators s = (12)(34)(56) and t = (125)(347)

The solvable group of order 96 with generators s = (34)(57)(68)(9 lo), t = (123)(456)(789)(10 11 12)

The group C2 x AS of order 120 with generators s = (12)(35)(46)(79)(810) and t = (234)(678)

The group C2 x AS of order 120 with generators s = (12)(35)(46)(79)(810) and t = (234)(678)

PSL(2,7) also has a permutation representation with generators s = (12)(34) and t = (135)(267). ¿ Es esto lo que estábamos buscando ?

The solvable group G of order 324 with generators s = (15)(38) and t = (123)(456)(789)

The group PSL(2,8) has order 504 an: has a permutation representation with generators s = (24)(35)(68)(79) and t = (123)(467)(589).

También da algunos generadores para grupos del tipo (2,4). A continuación los que me interesan.

XVIII. The group of order 48 with generators s = (35)(46) and x = (1243)(5687)

XIX. The group of order 64 with generators s = (23)(67) and x = (12)(3465)(78) .

XX. The group of order 72 with generators s = (23) and x = (12)(3465)

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